به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
572 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ A $ ماتریس $ n×n $ باشد بطوریکه $ T:x \rightarrow Ax $ و $ T: R^{n} \rightarrow R^{n} $ آنگاه $ \parallel T \parallel =? $

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

در حالت کلی اگر $ T:\mathbb R^p\to \mathbb R^q $ یک نگاشت خطی باشد نرم آن به صورت زیر تعریف می شود: $$ ||T||_{p,q}=\sup\{||T(x)||: x\in\mathbb R^p, ||x||\leq 1\} $$ نشان دهید که $||.||_{p,q}:\mathcal L(\mathbb R^p. \mathbb R^q)\to \mathbb R $ واقعا یک نرم است. ( منظور از
$ \mathcal L(\mathbb R^p,\mathbb R^q) $ فضای تمام توابع خطی از $\mathbb R^p $ به
$ \mathbb R^q $است. )

از طرفی می توان نشان داد که اگر $ T:\mathbb R^p\to\mathbb R^q $ نگاشتی خطی باشد، عدد ثابت مثبتی مانند
$ A $ هست که $ ||T(x)||\leq A||x||$ به ازای هر $ x\in\mathbb R^p $ .

در اینصورت می توان نشان داد که : $$||T||_{p,q}=\inf\{M>0: ||T(x)||\leq M||x||,\ x\in\mathbb R^p\} $$

مطالب بالا از بخش 21 کتاب آنالیز ریاضی بارتل هست. در کتاب رودین هم فصل توابع چند متغیره قسمت تبدیلات خطی این تعاریف باز اومده.

دارای دیدگاه توسط بی نام
+2
پس بلاخره جواب سوال چی میشه؟ این تعریف ها رو که از قبل میدونستیم. ممنون میشم جواب همین سوال را برای ماتریس n×n  بیان کنید.
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
خوب جوابتونو نوشتم دیگه. گفتم که :
$||T||_{p,q}=\sup\{||T(x)||=||Ax||: x\in\mathbb R^p, ||x||\leq 1\}$
دارای دیدگاه توسط رها
+2
@fardina

نرم $T$ رابطه ای با دترمینان ماتریس نداره؟؟؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
من واقعا اطلاعی ندارم. شاید رابطه ای داشته باشه ولی من نمیدونم.
دارای دیدگاه توسط fardina
گویا که رابطه ی خاصی وجود نداره. یعنی نمیتونیم نرم رو برحسب تابعی از دترمینان نوشت. چون ماتریس های ناصفری وجود دارند که به عنوان یک عملگر خطی نرم آنها مخالف صفر است ولی دترمینان آنها صفر است. به این سوال رجوع کنید:
http://math.irancircle.com/index.php?qa=1332
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

البته اگر نرم متناظر با $p $ نرم ها را بخواهیم داریم:

$$||T||_{p}=\inf\{M>0: ||T(x)||_{p}\leq M||x||_{p},\ x\in\mathbb R^p\} =sup\{ \frac{||T(x)||_{p}}{||x||_{p}} ,\ 0 \neq x\in\mathbb R^p \}$$

برای $ p=1 $ داریم:

$$ ||T||_{1} =max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n \mid a_{ij} \mid $$

برای $ p= \infty $ داریم:

$$ ||T||_{ \infty } =max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^n \mid a_{ij} \mid $$

برای $ p=2 $ داریم:

$$||T||_{2} =sup\{ \frac{||T(x)||_{2}}{||x||_{2}} ,\ 0 \neq x\in\mathbb R^p \}$$
و $$sup\{ \frac{||T(x)||_{2}^{2} }{||x||_{2}^{2} } \}=sup\{ \frac{ x^{T} A^{T} Ax}{||x||_{2}^{2}}\} = \Lambda_{max} (A^{T} A) $$

لذا داریم: $$||T||_{2} = \sqrt{\Lambda_{max} (A^{T} A)} $$ که در آن $ \Lambda_{max} $ برابر ماکزیمم مقدار ویژه ی ماتریس است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
41 نفر آنلاین
0 عضو و 41 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 931
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5006583
...