چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
464 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

آیا میتوان گفت که $ L^{ \infty } $ یک فضای برداری است و اینکه آیا $ L^{ \infty } $ فضای برداری کامل است؟

دارای دیدگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط wahedmohammadi
+1
بله یک فضای برداری کامل است. در واقع می توان نشان داد که $L^\infty$ یک فضای برداری است.برای اثبات هم فقط کافی است نشان دهید اگر $f,g\in L^\infty$باشند آنگاه$cf$ و $f+g$ نیز در $L^\infty$هستند.( $c$ عدد ثابت)
دارای دیدگاه توسط بی نام
+2
در مورد کامل بودنش باید چکار کنیم؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

اثبات کامل بودن $ L^\infty(X,\mathcal M,\mu) $ :

فرض کنید $\{f_n\} $ یک دنباله کوشی در $L^\infty $ باشد.( توجه کنید $ f_n\in L^\infty $ ) قرار می دهیم $$ A_{n,m}=\{x:|f_n(x)-f_m(x)|> ||f_n-f_m||_\infty\} $$

در اینصورت $ A_{m,n} $ اندازه پذیر است زیرا $ f_n-f_m $ اندازه پذیر است و $\mu(A_{m,n})=0 $ زیرا $ f_n-f_m\in L^\infty$ . ( تعریف $ f\in L^\infty $ را به یاد آورید.)

اگر قرار دهیم $A=\bigcup _{n,m}A_{m,n} $ آنگاه $ A$ اندازه پذیر است زیرا اجتماع شمارا از مجموعه های اندازه پذیر است.

قرار دهید $B=A^c $ در اینصورت $ B$ اندازه پذیر است و داریم $ \mu(B^c)=\mu(A)=0 $

نشان می دهیم برای هر $x\in B $ دنباله ی $ \{f_n(x)\} $ در $ \mathbb R $ کوشی است.

فرض کنید $ \epsilon>0$ دلخواه باشد. چون $ f_n $ در $ L^\infty $ کوشی است لذا $ N $ی هست که برای $m,n\geq N $ داریم $ ||f_n-f_m||_\infty< \epsilon $ . اما چون $ x\in B=A^c $ و

$$\begin{align}B=A^c&=\bigcap_{m,n}\{x: |f_n(x)-f_m(x)|\leq ||f_n-f_m|_\infty\}\\ &=\{x: |f_n(x)-f_m(x)|\leq ||f_n-f_m||_\infty,\quad \forall m,n\in\mathbb N\} \end{align} $$

پس از $ x\in B $ نتیجه می شود که $ \{f_n(x)\}$ در $ \mathbb R$ کوشی است. ولی چون $ \mathbb R $ کامل است پس $ \lim_{n\to\infty}f_n(x)$ برای هر $ x\in B $ موجود است و کافی است قرار دهیم: $$ f(x)=\begin{cases}\lim_{n\to\infty}f_n(x)&x\in B\\ 0& x\notin B \end{cases} $$ در اینصورت واضح است که $f $ اندازه پذیر است چون حد دنباله ای از توابع اندازه پذیر است.

تنها چیزی که که مانده ثابت کنیم اینکه $ f\in L^\infty$ و $ f_n\to f $ در $L^\infty $ .

برای این کار قرار دهید $ M=B\cap\{x:|f_n(x)|\leq ||f_n||_\infty\} $ در اینصورت $N $ اندازه پذیر است( اشتراک دو مجموعه اندازه پذیر) برای هر $ \epsilon> 0 $ یک $ N $ هست که برای $ m,n> N $ داریم $ ||f_n-f_m||_\infty< \epsilon $

پس برای $x\in M=B\cap \{x: |f_n(x)|\leq ||f_n||_\infty\} $ و $m,n\geq N $ داریم: $$ |f_n(x)-f_m(x)|\leq ||f_n-f-m||_\infty< \epsilon $$ و اگر $ n\to \infty $ میل دهیم داریم: $$ |f(x)-f_m(x)|\leq \epsilon $$

و لذا $$ |f(x)|\leq |f(x)-f_m(x)|+|f_m(x)|\leq \epsilon+||f_m||_\infty\quad \mu-a.e. $$ و این یعنی $ f\in L^\infty $

و همینطور چون $ n> N$ داریم: $ ||f-f_N||_\infty< \epsilon $ لذا $ f_n\to f $ در $ L^\infty $ .

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
87 نفر آنلاین
1 عضو و 86 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3675
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4698715
...