به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
485 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

آیا میتوان گفت که $ L^{ \infty } $ یک فضای برداری است و اینکه آیا $ L^{ \infty } $ فضای برداری کامل است؟

دارای دیدگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط wahedmohammadi
+1
بله یک فضای برداری کامل است. در واقع می توان نشان داد که $L^\infty$ یک فضای برداری است.برای اثبات هم فقط کافی است نشان دهید اگر $f,g\in L^\infty$باشند آنگاه$cf$ و $f+g$ نیز در $L^\infty$هستند.( $c$ عدد ثابت)
دارای دیدگاه توسط بی نام
+2
در مورد کامل بودنش باید چکار کنیم؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

اثبات کامل بودن $ L^\infty(X,\mathcal M,\mu) $ :

فرض کنید $\{f_n\} $ یک دنباله کوشی در $L^\infty $ باشد.( توجه کنید $ f_n\in L^\infty $ ) قرار می دهیم $$ A_{n,m}=\{x:|f_n(x)-f_m(x)|> ||f_n-f_m||_\infty\} $$

در اینصورت $ A_{m,n} $ اندازه پذیر است زیرا $ f_n-f_m $ اندازه پذیر است و $\mu(A_{m,n})=0 $ زیرا $ f_n-f_m\in L^\infty$ . ( تعریف $ f\in L^\infty $ را به یاد آورید.)

اگر قرار دهیم $A=\bigcup _{n,m}A_{m,n} $ آنگاه $ A$ اندازه پذیر است زیرا اجتماع شمارا از مجموعه های اندازه پذیر است.

قرار دهید $B=A^c $ در اینصورت $ B$ اندازه پذیر است و داریم $ \mu(B^c)=\mu(A)=0 $

نشان می دهیم برای هر $x\in B $ دنباله ی $ \{f_n(x)\} $ در $ \mathbb R $ کوشی است.

فرض کنید $ \epsilon>0$ دلخواه باشد. چون $ f_n $ در $ L^\infty $ کوشی است لذا $ N $ی هست که برای $m,n\geq N $ داریم $ ||f_n-f_m||_\infty< \epsilon $ . اما چون $ x\in B=A^c $ و

$$\begin{align}B=A^c&=\bigcap_{m,n}\{x: |f_n(x)-f_m(x)|\leq ||f_n-f_m|_\infty\}\\ &=\{x: |f_n(x)-f_m(x)|\leq ||f_n-f_m||_\infty,\quad \forall m,n\in\mathbb N\} \end{align} $$

پس از $ x\in B $ نتیجه می شود که $ \{f_n(x)\}$ در $ \mathbb R$ کوشی است. ولی چون $ \mathbb R $ کامل است پس $ \lim_{n\to\infty}f_n(x)$ برای هر $ x\in B $ موجود است و کافی است قرار دهیم: $$ f(x)=\begin{cases}\lim_{n\to\infty}f_n(x)&x\in B\\ 0& x\notin B \end{cases} $$ در اینصورت واضح است که $f $ اندازه پذیر است چون حد دنباله ای از توابع اندازه پذیر است.

تنها چیزی که که مانده ثابت کنیم اینکه $ f\in L^\infty$ و $ f_n\to f $ در $L^\infty $ .

برای این کار قرار دهید $ M=B\cap\{x:|f_n(x)|\leq ||f_n||_\infty\} $ در اینصورت $N $ اندازه پذیر است( اشتراک دو مجموعه اندازه پذیر) برای هر $ \epsilon> 0 $ یک $ N $ هست که برای $ m,n> N $ داریم $ ||f_n-f_m||_\infty< \epsilon $

پس برای $x\in M=B\cap \{x: |f_n(x)|\leq ||f_n||_\infty\} $ و $m,n\geq N $ داریم: $$ |f_n(x)-f_m(x)|\leq ||f_n-f-m||_\infty< \epsilon $$ و اگر $ n\to \infty $ میل دهیم داریم: $$ |f(x)-f_m(x)|\leq \epsilon $$

و لذا $$ |f(x)|\leq |f(x)-f_m(x)|+|f_m(x)|\leq \epsilon+||f_m||_\infty\quad \mu-a.e. $$ و این یعنی $ f\in L^\infty $

و همینطور چون $ n> N$ داریم: $ ||f-f_N||_\infty< \epsilon $ لذا $ f_n\to f $ در $ L^\infty $ .

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
53 نفر آنلاین
1 عضو و 52 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 6521
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5012173
...