چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
884 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
برچسب گذاری دوباره توسط wahedmohammadi

اگر $E$ و $F$ دو فضای نرمدار و $ T:E \rightarrow F $ یک عملگر خطی کراندار باشد، نشان دهید: $ \parallel T \parallel =sup \big\{ \parallel Tx \parallel : \parallel x \parallel \leq 1 \big\} =sup \big\{ \parallel Tx \parallel / \parallel x \parallel :x \neq 0\big\} $ .

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر $ x\neq 0$ آنگاه $ \frac{x}{||x||} $ را در نظر بگیرید چون $||\frac{x}{||x||}||=1 $ لذا $ ||T(\frac{x}{||x||})||\in \big\{ \parallel Tx \parallel : \parallel x \parallel \leq 1 \big\}$ ولی $ ||T(\frac{x}{||x||})|| =\frac{1}{||x||}||T(x)||$ بنابراین $ ||T(\frac{x}{||x||})||\leq ||T|| $ و لذا
$$ \sup\big\{\frac{||T(x)||}{||x||}: x\neq 0\big\}\leq ||T|| $$ برای طرف دیگر هم کافی است دقت کنید که اگر $ ||x||\leq 1 $ آنگاه $||Tx||\leq \frac{||Tx||}{||x||} $ و لذا $$ ||T||\leq \sup\{\frac{||Tx||}{||x||}:x\neq 0\} $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
89 نفر آنلاین
1 عضو و 88 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3706
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4698746
...