به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
58 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Vr01

ثابت کنید(ترجیحا با اصل استقرا) تعداد زیر مجموعه های K عضوی یک مجموعه ، $ \binom{|A|}{k} $ است.

مرجع: گسسته و جبر و احتمال خیلی سبز - توسط رسول محسنی منش و سروش موئینی - فصل پنجم - صفحه ی ۲۵۳

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط Vr01
 
بهترین پاسخ

اگر به پرسش فکر می‌کردید می‌دید که واقعا هیچی ندارد. تعداد زیرمجموعه‌های $k$ عضوی از یک مجموعهٔ $n$ عضوی یعنی چه؟ یعنی تعداد حالت‌هایی که می‌توان $k$ عضو از $n$ عضو انتخاب کرد. و این یعنی $\binom{n}{k}$. نیاز به استقرا نیز ندارد چون دقیقا خود جمله‌ای است که می‌گویید. ولی اگر دنبال استقرا می‌گردید احتمالا اثباتِ $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ است که در چندین جا دیده‌اید. فرض کنید برای کمتر یا مساوی $n$ برقرار باشد اکنون انتخاب $k$ عضو از $n+1$، بیایید یک عضو را ویژه کنید. دو حالت دارید یا همهٔ $k$ عضو را از $n$ عضو ناویژه انتخاب می‌کنید یا یکی از آنها عضو ویژه است و $k-1$ ای از $n$ عضو ویژه برمی‌دارید. پس $\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}$ چون بالای این انتخاب‌ها $n$ است از فرض استقرا می‌توانید فرمول را برایشان جایگذاری کنید و سپس دو کسر را با هم جمع و ساده‌سازی کنید، کسرِ متناسب با فرمول برای $n+1$ را خواهید داشت.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
46 نفر آنلاین
0 عضو و 46 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 364
بازدید دیروز: 6583
بازدید کل: 5012599
...