چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
46 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Vr01

ثابت کنید(ترجیحا با اصل استقرا) تعداد زیر مجموعه های K عضوی یک مجموعه ، $ \binom{|A|}{k} $ است.

مرجع: گسسته و جبر و احتمال خیلی سبز - توسط رسول محسنی منش و سروش موئینی - فصل پنجم - صفحه ی ۲۵۳

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط Vr01
 
بهترین پاسخ

اگر به پرسش فکر می‌کردید می‌دید که واقعا هیچی ندارد. تعداد زیرمجموعه‌های $k$ عضوی از یک مجموعهٔ $n$ عضوی یعنی چه؟ یعنی تعداد حالت‌هایی که می‌توان $k$ عضو از $n$ عضو انتخاب کرد. و این یعنی $\binom{n}{k}$. نیاز به استقرا نیز ندارد چون دقیقا خود جمله‌ای است که می‌گویید. ولی اگر دنبال استقرا می‌گردید احتمالا اثباتِ $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ است که در چندین جا دیده‌اید. فرض کنید برای کمتر یا مساوی $n$ برقرار باشد اکنون انتخاب $k$ عضو از $n+1$، بیایید یک عضو را ویژه کنید. دو حالت دارید یا همهٔ $k$ عضو را از $n$ عضو ناویژه انتخاب می‌کنید یا یکی از آنها عضو ویژه است و $k-1$ ای از $n$ عضو ویژه برمی‌دارید. پس $\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}$ چون بالای این انتخاب‌ها $n$ است از فرض استقرا می‌توانید فرمول را برایشان جایگذاری کنید و سپس دو کسر را با هم جمع و ساده‌سازی کنید، کسرِ متناسب با فرمول برای $n+1$ را خواهید داشت.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
81 نفر آنلاین
0 عضو و 81 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3622
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4705948
...