به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
79 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط alineysi
ویرایش شده توسط erfanm

میدانیم در یک توپ فوتبال دو نوع قطعه ۵ضلعی و۶ ضلعی منتظم داریم.تعداد قطعات توپ کدام گزینه است؟

۳۲ ۳۳ ۳۴ ۳۵ ۳۶

مرجع: المپیاد ریاضی نوجوانان انتشارات مبتکران

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط alineysi
 
بهترین پاسخ

مشخصه اویلر یعنی $ \chi $ برای چند وجهی ها برابر است با: $$ \chi =V-E+F$$ که در آن $ V $ تعداد راس، $E $ تعداد یال و $ F $ تعداد وجه است. برای چند وجهی های محدب این مشخصه برابر 2 است پس در توپ فوتبال این مشخصه 2 است. حال به محاسبه ی $ V$و$E $ و $F $ می پردازیم.

فرض کنید $x$ پنج ضلعی و $ y $ شش ضلعی داشته باشیم. تعداد رئوس برابر $ \frac{5x+6y}{3} $ است. تعداد یالها $ \frac{5x+6y}{2} $ و تعداد وجها برابر $ x+y $ است که با جایگذاری در معادله داریم: $$ \frac{5x+6y}{3}-\frac{5x+6y}{2}+x+y=2 \Rightarrow \frac{x}{6}=2 $$ پس تعداد پنج ضلعی ها همواره برابر 12 است.

enter image description here

هر پنج ضلعی با 5 شش ضلعی مجاور است و هر شش ضلعی با 3 پنج ضلعی لذا تعداد شش ضلعی ها برابر است با: $ \frac{5 \times 12}{3} =20$

دارای دیدگاه توسط alineysi
بسیار عالی.ممنون
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...