چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
140 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط رها
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ (X,\mathcal M,\mu) $ یک فضای اندازه و $ f:X\to\mathbb R $ یک تابع اندازه پذیر باشد در مورد حد $ \lim( \int | f | ^p) ^ \frac{1}{p} $ چه می توان گفت؟

دارای دیدگاه توسط رها
میشه بگیم این همون نرم بی نهایت میشه؟؟؟
دارای دیدگاه توسط fardina
شرط متنهای بودن $\mu(X)< \infty$ ضروری است.
جواب رو ببینید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

نشان می دهیم که : $ \lim_{p\to\infty}\|f\|_p=\|f\|_\infty $ :

یک طرف واضح است زیرا بنابرتعریف نرم $ \|f\|_\infty $ تقریبا همه جا داریم $ |f(x)|\leq \|f\|_\infty$ لذا

$$\|f\|_p=\big(\int|f|^pd\mu\big)^{1/p}\leq \big(\int\|f\|_\infty^p d\mu\big)^{1/p} =\|f\|_\infty(\mu(X))^{1/p} $$ با حد گرفتن از طرفین داریم:

$$\lim_{p\to\infty}\|f\|_p\leq \lim_{p\to\infty}\|f\|_\infty\big(\mu(X)\big)^{1/p}=\|f\|_\infty $$

توجه کنید که شرط متناهی بودن اندازه در اینجا ضروری است.

برای اثبات عکس نشان می دهیم به ازای هر $ \epsilon>0$ داریم $\lim_{p\to\infty}\|f\|_p\geq \|f\|_\infty-\epsilon $

فرض کنید $ \epsilon>0 $ دلخواه باشد بنابر تعریف $$ \|f\|_\infty=\inf\{M: |f(x)|\leq M\ \mu-a.e.\}=\inf\{M: \mu(\{x:|f(x)|> M\}=0\}$$ اگر مجموعه $A=\{x:|f(x)|>\|f\|_\infty-\epsilon\} $ را در نظر بگیرید آنگاه $ \mu(A)> 0$ .

در اینصورت داریم: $$\begin{align}\big(\int|f|^pd\mu\big)^{1/p}&\geq \big(\int_A|f|^pd\mu\big)^{1/p}\\ &\geq \big(\int_A(\|f\|_\infty-\epsilon)^p\big)^{1/p}\\ &=(||f||_\infty-\epsilon)(\mu(A))^{1/p} \end{align}$$ و حال اگر $ p\to\infty $ داریم: $ \lim_{p\to\infty}\|f\|_p\geq \|f\|_\infty-\epsilon $ و چون اپسیلون دلخواه بود لذا $\lim_{p\to\infty}\|f\|_p\geq \|f\|_\infty $ .

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
58 نفر آنلاین
0 عضو و 58 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 405
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709547
...