به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
285 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط behrooz.f
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $X$ و $Y$ فشرده و $ \tau :Y \rightarrow X$ پیوسته باشد. $A:C(X) \rightarrow C(Y)$ با ضابطه $(Af)y=f( \tau (y))$ عملگری خطی و پیوسته است، در اینصورت نشان دهید که عملگر الحاقی $A^*:M(Y) \rightarrow M(X)$ به ازای هر زیر مجموعه بورل $ U$ از $X $ و هر $ \mu \in M(Y)$ به صورت زیر داده می‌شود: $$(A ^ * μ)(U)=μ(τ ^ {-1}(U))$$

دارای دیدگاه توسط dr
ویرایش شده توسط fardina
+2
فک کنم جهت نگاشت $\tau$ رو اشتبا نوشتید، از $Y$ به $X$ درسته
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
درسته من ویرایشش کردم.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط dr
انتخاب شده توسط behrooz.f
 
بهترین پاسخ

کافیست حکم داده شده را برای مجموعه ی باز دلخواه $U$ از $X$ ثابت کنیم . می دانیم چون $X$ فشرده است بنابراین $C(X)$ تحت نرم یک یعنی $ \parallel ~~ \parallel_{1} $در $ L^{1} $چگال است. و چون $U$ باز در نتیجه اندازه پذیر است بنابراین $ \chi _{U} \in L^{1} $ و از این رو دنباله ای چون $ \big\{ f_{n} \big\} $ در$C(X)$ وجود دارد چنانکه $$ \int \chi _{U} d \mu = \lim_{n} \int \mid f_{n} \mid d \mu \tag{1} $$ حال چون $ A^{*} \mu \in M(X)$ و طبق تعریف برای عضو دلخواهی چون $f$ در $C(X)$ داریم $$ \int fd A^{*} \mu = < f , A^{*} \mu > = < Af , \mu > = \int Af d \mu \tag{2}$$ بنابراین از روابط (1) و(2) داریم $$ \begin{align} A^{*} \mu \big(U\big) &= \int_U d \big(A^{*} \mu \big) \\ & = \int \chi _{u} d \big( A^{*} \mu \big) \\ &= \lim_{n} \int \mid f_{n} \mid d \big( A^{*} \mu \big) \\ & = \lim_{n} \int A \big( \mid f_{n} \mid \big) d \mu \\ & = \lim_{n} \int \mid f_{n} \mid \circ \tau d \mu \\ & = \int \chi _{ U} \circ \tau d \mu\\ & = \int \chi _{ \tau ^{-1} U} d \mu \\ &= \mu \big( \tau ^{-1} U\big) \end{align} $$ و حکم تمام است.

دارای دیدگاه توسط behrooz.f
+1
ممنون بخاطر جواب.
در همین رابطه آیا می توان گفت چون هر مجموعه باز را می توان به صورت اجتماع نامتناهی از مجموعه های بسته تودرتو نوشت(فضاهای متریک پذیر) و با استفاده از لم اورسون دنباله ای  از توابع را همگرا به تابع خی همان مجموعه باز، یافت. و ادامه برهان فوق را پی گیری نمود؟
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
28 نفر آنلاین
2 عضو و 26 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4144
بازدید دیروز: 4859
بازدید کل: 4862775
...