به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
45 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Riazi
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

در ۶۴ خانه صفحه شطرنج، اعداد ۱ تا ۶۴ را به ترتیب نوشته ایم: ابتدا در سطر بالا از راست به چپ عددهای ۱ تا ۸ بعد در سطر دوم از راست به چپ عددهای ۹ تا ۱۶ و ... ؛ در سطر هشتم از راست به چپ عددهای ۵۷ تا ۶۴. می خواهیم هشت رخ را در خانه های این صفحه شطرنج طوری قرار دهیم که هیچ یک از رخ ها یکدیگر را تهدید نکنند. می دانیم این کار به (هشت فاکتوریل) !۸ طریق امکان پذیر است. با آوردن استدلالی ثابت کنید مجموع عددهای مربوط به خانه هایی که رخ ها در آن قرار خواهند گرفت در تمام (هشت فاکتوریل) !۸ طریق عددی ثابت است.

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@Riazi عنوان پرسش مشخص نمی‌کند که در پرسش چه چیزی سوال است. عنوان پرسش را ویرایش کنید.
- بعلاوه عنوان دو پرسش سابق‌تان که قبلا هم اشاره کرده‌بودم را نیز ویرایش کنید.

http://math.irancircle.com/13123/%D8%AA%D8%B1%DA%A9%DB%8C%D8%A8%D8%A7%D8%AA-%D8%AF%D8%B1-%D8%B3%D8%B7%D8%AD-%D8%AF%D8%A7%D9%86%D8%B4%DA%AF%D8%A7%D9%87-%D9%88-%D8%AF%D8%A8%DB%8C%D8%B1%D8%B3%D8%AA%D8%A7%D9%86

http://math.irancircle.com/13120/%D8%AA%D8%B1%DA%A9%DB%8C%D8%A8%D8%A7%D8%AA-%D8%AC%D8%B9%D8%A8%D9%87-%D9%88-%D9%85%D9%87%D8%B1%D9%87

- و هنوز نه پستی را امتیاز داده‌اید و نه پاسخ پرسشی‌تان را تأیید کرده‌اید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

شما گفته‌اید می‌دانید که $8!$ حالت برای قرار دادن رخ‌ها در صفحه‌شطرنج‌تان به گونه‌ای که یکدیگر را تحدید نکنند وجود دارد. چون گفته‌اید می‌دانید پس فرض می‌کنم که روش و دلیل بدست‌آمدن این عدد را می‌دانید یعنی اینکه باید در هر سطر و هر ستون فقط یک رخ واقع باشد. اکنون شمارهٔ یک خانه چگونه بدست می‌آید؟ یک خانه واقع در سطر $i$اُم و ستون $j$اُم برابر است با $8i+j$. فرض کنید مکانِ رُخِ $n$اُم برابر باشد با $(i_n,j_n)$ آنگاه جمع عددِ مکان‌های هشت رخ برابر است با $$\sum_{n=1}^8(8i_n+j_n)$$ اما این برابر است با $$8(\sum_{n=1}^8i_n)+(\sum_{n=1}^8j_n)$$ ولی مگر قرار نیست در هر سطر (هر ستون) دقیقا یک و تنها یک رخ داشته‌باشیم؟ پس مجموعهٔ $$\lbrace i_1,i_2,\dots,i_8\rbrace$$ دقیقا برابر با مجموعهٔ $\lbrace 1,2,\dots,8\rbrace$ است فقط یک تغییر ترتیب داشته‌است. همینطور برای ستون‌ها. پس جمع‌مان برابر است با $$8(\sum_{n=1}^8n)+(\sum_{n=1}^8n)=9(\sum_{n=1}^8n)=9\times\frac{9\times 8}{2}=324$$ چون شرط جدیدی روی مکان رخ‌ها در این محاسبه نیافزوده‌ایم، این محاسبه برای هر $8!$ وضعیت صادق است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...