به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
70 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط aaa
ویرایش شده توسط aaa

حد L تابع (F(T را وقتی$T \rightarrow C$ بیابید. سپس نشان دهید که به ازای هر $ \varepsilon > 0$ مفروض یک $ \delta > 0$ وجود دارد به طوری که enter image description here

$ \frac{4}{T} $=(F(T

c=2

دارای دیدگاه توسط fardina
+2
در کجا دارای حد می باشد؟ سوال چه هست؟ گنگ نوشتید من متوجه نمیشم.
دارای دیدگاه توسط aaa
ببخشید من جا انداختم
در c=2

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط aaa
 
بهترین پاسخ

ثابت می کنیم $\lim_{t\to 2}\frac 4t=\frac 42=2$.

فرض کنید $\epsilon>0$ دلخواه داده شده باشد در اینصورت باید $\delta>0$ مناسبی بیابیم که برای $t$ هایی که در همسایگی محذوف حول نقطه $2$ هستند یعنی $0< |t-2|< \delta$ نامساوی $$|\frac 4t-2|< \epsilon$$ برقرار باشد. اما این نامساوی برقرار است اگر و تنها اگر $\frac{|4-2t|}{|t|}< \epsilon$

در این نامساوی چنانکه می بینید در مخرج عبارت $|t|$ داریم و لذا اگر ما $\delta$ ی که دنبال آن می گردیم آنقدر بزرگ اختیار کنیم که $0< |t-2|< \delta$ برای $t=0$ برقرار باشد آنگاه عبارت $ \frac{|4-2t|}{|t|} $ تعریف نشده می شود( مثلا اگر $\delta=3$ انتخاب شود آنگاه همسایگی ما به صورت $0< |t-2|< 3$ یعنی مجموعه $(-1,2)\cup (2,5)$ می شود و در این بازه صفر را داریم که اگر $t=0$ اختیار کنیم آنگاه عبارتی که گفتیم غیر قابل تعریف می شود)

به همین منظور ما فورا در میابیم که حق نداریم $\delta$ را بزرگتر از $2$ در نظر بگیریم چون در غیر اینصورت $0< |t-2|< \delta$ شامل صفر می شود.

از طرفی چون در عبارت $\frac{|4-2t|}{|t|}$ در مخرج $|t|$ داریم که باید به نحوی از شر آن خلاص شویم. (چون اگر فقط $|4-2t|< \epsilon$ می بود واضح بود که از تقسیم طرفین بر $2$ داشتیم $|t-2|< \frac \epsilon 2$ و لذا کافی بود $\delta$ را عددی مثبت در نظر می گرفتیم که از $2$ و $\frac\epsilon 2$ کوچکتر باشد.)

برای اینکه از شر $|t|$ خلاص شویم می توان به این فکر کرد که اگر $\delta$ را به نحوی مناسب انتخاب کنیم آنگاه $\frac 1{|t|}$ دارای کران بالایی می شود. به طور دقیقتر مثلا اگر $\delta< 1$ انتخاب کنیم آنگاه از $|t-2|< \delta< 1$ و نامساوی مثلثی $||t|-|2||\leq |t-2|$ خواهیم داشت $|t|> 1$ و لذا $\frac 1{|t|}< 1$

پس با فرض $\delta< 1$ داریم: $$\frac{|4-2t|}{|t|}< |4-2t|$$

که این هم همانطور که قبلا توضیح دادیم از $|4-2t|< \epsilon$ خواهیم داشت $|t-2|< \frac\epsilon 2$ و لذا کافی است $0< \delta< \min\{1, \frac \epsilon 2\}$ انتخاب شود.

دارای دیدگاه توسط aaa
من قسمت آخر برای خلاص شدن از شر قدر مطلق تی رو نفهمیدم
دارای دیدگاه توسط fardina
+2
لطفا پیام‌خصوصی برای جواب دادن به سوال نفرستید. همین جا دیدگاه بگذارید و من رو با @fardina مطلع کنید کافیه. هر وقت تونستم جواب میدم یا سایر کاربران جواب میدن.
این که میگید متوجه نشدید یعنی کجا رو متوجه نشدید؟ اگر همه اش رو متوجه نشدید پس باید باز هم با جزییات توضیحات من رو بخونید چون سعی کردم کامل توضیح بدم. و یا اینکه دقیق اشاره کنید کجا رو متوجه نشدید؟
در  تعریف حد ما فرض میکنیم $\epsilon$ مثبت داده شده و از $|f(t)-L|< \epsilon$ سعی می کنیم با ساده کردن به عبارتی معادل آن مثل $|t-c|<  \bigcirc $ برسیم که در اینصورت کافی است $\delta<  \bigcirc $ را انتخاب کنیم و آنگاه شرایط تعریف حد برقرار می شود. ما هم کاری کردم که به $|t-c|<  \bigcirc $ برسیم.
شاید شما تعریف حد را خوب درک نکرده باشید.
دارای دیدگاه توسط aaa
منظورتون از اینکه یک تقسیم بر تی دارای کران بالایی میشود یعنی چه؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@aaa
تعریف کران بالا را باید بدانید؟ اینکه عدد حقیقی $k$ کران بالایی برای تابع $g$ با دامنه ی $D$ است یعنی برای هر $t\in D$ داشته باشیم $g(t)\leq k$

در مثال ما چون $\frac{|4-2t|}{|t|}=\frac1{|t|}|4-2t|$ پس طبیعی است که ما فکر کنیم که $t$ را درمحدوده ای انتخاب کنیم که $\frac1{|t|}$ دارای کران بالایی باشد که در اینجا کران بالایی که برای آن پیدا کردیم $1$ هست یعنی $\frac1{|t|}\leq 1$ و لذا
$\frac{|4-2t|}{|t|}=\frac1{|t|}|4-2t|\leq 1\times |4-2t|=|4-2t|$
دارای دیدگاه توسط aaa
ببخشید یک سوال دیگر
چرا در بیشتر سوال ها دلتار رو کوچک تر از یک میگرین
با اینکه اگه یک هم نباشه مشکلی پیش نمیاد
چون در برخی سوال ها اگر به جای یک یه عدد بزرگتر هم بزاریم بازم کران بالا بدون مشکل به وجود میاد.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...