چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
99 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
ویرایش شده توسط fardina

چگونه میتوان نشان داد که $ \| . \| _{ \infty } $ یک نرم روی $ L_{ \infty } $ است ؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

$ ||.||_\infty $ یک نرم روی $L_\infty $ نیست زیرا از $||f||_\infty=0 $ نمی توان نتیجه گرفت $ f=0$ . اما $||.||_\infty $ یک نیم نرم است یعنی:

  1. $ ||f||_\infty\geq 0 $ واضح است.
  2. $ f=0$ آنگاه $ ||f||_\infty=0 $ واضح است.

  3. $ ||cf||_\infty =|c|||f||_\infty $ واضح است.

  4. $ ||f+g||_\infty\leq ||f||_\infty+||g||_\infty$ برای اثبات این موضوع بنابر تعریف $||.||_\infty $ از $ f,g\in L^\infty $ نتیجه می شود موجموعه های $ E_1$ و $ E_2 $ وجود دارند که $ \mu(E_1)=0 $ و $\mu(E_2)=0 $ و روی $ E_1^c $ داریم $ |f(x)|\leq ||f||_\infty $ و روی $ E_2^c $ داریم $ |g(x)|\leq ||g||_\infty $ . اگر قرار دهیم
    $ E=E_1\cup E_2$ دراینصورت $ \mu(E)=0 $ و روی $E^c $ داریم $$ |f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq ||f||_\infty+||g||_\infty $$

لذا از تعریف نرم بی نهایت داریم: $||f+g||_\infty\leq ||f||_\infty+||g||_\infty $ .

اما همیشه می توان از یک نیم نرم یک نرم ساخت به این ترتیب که رابطه هم ارزی زیر را در نظر می گیریم: $$ f \sim g \iff f=g\quad \mu-a.e. $$

در اینصورت رابطه بالا هم ارزی است( چرا؟) و $||.|| $ یک نرم روی کلاس های هم ارزی $ \dfrac{L^\infty(\mu)}{\sim} $ است. که این کلاس های هم ارزی را هم دوباره قرار داد میبندیم که با $L^\infty(\mu) $ یا $L^\infty $ نمایش می دهیم. یعنی در $L^\infty $ توابعی که تقریبا همه جا با هم برابر هستند را مساوی در نظر میگیریم. دقیقا کاری که برای $ L^p$ ها هم انجام میدادیم.

در اینصورت رابطه 2 در بالا به صورت اگر و تنها اگر در می آید یعنی : $f=0 $ اگر و تنها اگر $ ||f||_\infty=0$ . (توجه کنید که $ f=0 $ یعنی تقریبا همه جا $ f $ برابر صفر است. و ما توابعی که تقریبا همه جا برابر بودند را مساوی در نظر گرفتیم.)

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
89 نفر آنلاین
1 عضو و 88 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3689
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4698729
...