به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
28 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط aria_amirkarimi

از رأس A در مثلث متساوى الاضلاع ABC و در خارج از آن خط xy را رسم ميكنيم . محل تلاقى نيم ساز خارجى B با نيمساز xAB را M و محل تلاقى نيمساز خارجى زاويه C با نيم ساز زاويه yAC را N مى ناميم. ثابت كنيد AN=AM

مرجع: هندسه مسطحه مسائل بدون حل سوال ٩

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Mahdimoro
انتخاب شده توسط aria_amirkarimi
 
بهترین پاسخ

ابتدا توجه کنید که $ \hat{BAC} = \hat{ABM} =60$ پس $AC$ و $BM$ موازی اند به طریق مشابه ثابت میشود $CN$ و $AB$ هم موازی اند.

اکنون ثابت میکنیم $ \hat{CAM} + \hat{BAN} =180$. به این منظور داریم: $$ \hat{CAM} + \hat{BAN} $$ $$=( \hat{CAB} + \hat{BAM} )+( \hat{BAC} + \hat{CAN} )$$ $$=120+ \hat{BAM} + \hat{CAN} $$ $$=120+ \frac{ \hat{CAy} }{2} + \frac{ \hat{BAx} }{2} $$ $$=120+( \frac{180- \hat{BAC} }{2} )$$ $$=120+ \frac{180-60}{2} $$ $$=180$$ پس ثابت شد که $ \hat{CAM} + \hat{BAN} =180$. از اینکه $BM$ موازی $AC$ است نتیجه میشود $ \hat{AMB} + \hat{CAM} =180$ و از اینکه $CN$ موازی $AB$ است نتیجه میشود $ \hat{CNA} + \hat{BAM} =180$. پس داریم:

$$ \hat{BMA} + \hat{CNA} $$ $$=(180- \hat{CAM} )+(180- \hat{BAN} )$$ $$=360-( \hat{BAN} + \hat{CAM} )$$ $$=360-180$$ $$=180$$ پس $ \hat{BMA} $ و $ \hat{CNA} $ مکمل هم هستند و همچنین $ \hat{BMA} $ و $ \hat{AMK} $ هم مکمل هم هستند درنتیجه $ \hat{CNA} = \hat{AMK} $.

عمود های وارد از $A$ بر $BM$ و $CN$ را به ترتیب $K$ و $H$ مینامیم. در دو مثلث $BAK$ و $CAH$ داریم $AB=AC$ و $ \hat{ABK} = \hat{ACH} =60$. پس دو مثلث به حالت وتر و زاویه ی تند هم نهشتند بنابراین $AK=AH$.

اکنون در دو مثلث $AMK$ و $ANH$ چون $ \hat{AKM} = \hat{AHN} =90$ و $ \hat{ANH} = \hat{AMK} $ نتیجه میشود $ \hat{MAK} = \hat{NAH} $ اکنون داریم $AK=AH$ و $ \hat{AKM} = \hat{AHN} =90$ و $ \hat{NAH} = \hat{MAK} $ پس دو مثلث به حالت ز.ض.ز هم نهشت اند. بنابراین: $$AM=AN$$ حکم ثابت شد.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...