چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
3,101 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط امید
ویرایش شده توسط wahedmohammadi

ماتریس $N \times N $ سه قطری زیر را درنظر بگیرید ثابت کنید مقادیر ویژه ی $ \lambda _{k+1} $ بصورت زیر هستند: $$ \lambda _{k+1} =b+2 \sqrt{ac} cos( \frac{k \pi}{N} ) \qquad k=0 ,\ldots ,N-1$$

$$A= \begin{bmatrix}b & c& 0& 0& ... & 0& 0& 0\\a & b& c& 0& ... & 0& 0& 0\\0 & a & b& c& ... & 0& 0& 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &...& \vdots & \vdots & \vdots\\0 & 0& 0& 0& ...&a&b&c \\0 & 0& 0& 0& ...& 0&a&b\end{bmatrix} $$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

برای بدست آوردن مقدار ویژه توجه کنید که اگر $ \lambda $ یک مقدار ویژه باشد داریم بردار غیر صفر $ x=[ x_{1} , x_{2} ,... ,x_{N} ]^{T} $ وجود دارد که $Ax= \lambda x $ است. یعنی $(A- \lambda I)x=0 $ پس داریم:

$$ \begin{bmatrix}b-\lambda & c& 0& 0& ... & 0& 0& 0\\a & b-\lambda& c& 0& ... & 0& 0& 0\\0 & a & b-\lambda& c& ... & 0& 0& 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &...& \vdots & \vdots & \vdots\\0 & 0& 0& 0& ...&a&b-\lambda&c \\0 & 0& 0& 0& ...& 0&a&b-\lambda\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \vdots \\ x_{N-1} \\ x_{N} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ لذا داریم:

$$ \begin{bmatrix} (b-\lambda)x_{1}+cx_{2} \\ax_{1}+(b-\lambda)x_{2}+cx_{3} \\ ax_{2}+(b-\lambda)x_{3}+cx_{4} \\ \vdots \\ ax_{N-2}+(b-\lambda)x_{N-1}+cx_{N} \\ ax_{N-1}+(b-\lambda)x_{N} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

با تعریف $x_{0} =x_{N+1}=0 $ هرسطر برای هر $ 1 \leq j \leq N$ بصورت زیر بدست می آید: $$ax_{j-1}+(b-\lambda)x_{j}+cx_{j+1}=0 $$ میدانیم جواب چنین معادله ای را میتوان بصورت ریشه ی چند جمله ای مشخصه ی $ p(r)=c r^{2} +(b-\lambda)r+a $ بدست آوریم و اگر فرض کنیم ریشه ی $ p(r) $ بصورت $ r_{1} $ و $ r_{2} $ باشند آنگاه جواب معادلات متفاوت اولیه بصورت $ x_{j}= \alpha r_{1}^{j} + \beta r_{2}^{j}$ است.

میدانیم $x_{0} =0 $ لذا با جایگذاری در بالا داریم: $$0= x_{0}= \alpha r_{1}^{0} + \beta r_{2}^{0}= \alpha+ \beta \Rightarrow \beta=- \alpha$$ یعنی معادله ی کلی بصورت $ x_{j}= \alpha( r_{1}^{j} - r_{2}^{j})$ است و چون میدانیم $ x \neq 0$ لذا باید $ \alpha $ مخالف صفر باشد.

میدانیم $x_{N+1} =0 $ لذا با جایگذاری در بالا داریم: $$x_{N+1}= \alpha( r_{1}^{N+1} - r_{2}^{N+1}) \Rightarrow ( \frac{ r_{1}}{ r_{2}} )^{N+1}=1 $$ ریشه های $ p(r) $ (با روش دلتا) بصورت زیر هستند. $$ r_{1}= \frac{-(b-\lambda)+ \sqrt{ (b-\lambda)^{2}-4ca } }{2c} $$ $$ r_{2}= \frac{-(b-\lambda)- \sqrt{ (b-\lambda)^{2}-4ca } }{2c} $$ و میدانیم در معادلات درجه $2$ حاصلضرب ریشه ها برابر عدد ثابت تقسیم بر ضریب جمله ی درجه$2$ است یعنی $r_{1}r_{2} = \frac{a}{c} $ حال داریم: $$1=( \frac{ r_{1}}{ r_{2}} )^{N+1}=( \frac{ r_{1}^{2}}{ r_{1}r_{2}} )^{N+1}=( \frac{ r_{1}^{2}}{\frac{a}{c}} )^{N+1} $$ که جواب کلی معادله ی آخر در اصل بصورت مختلط است و داریم: $$ \frac{ r_{1}^{2}}{\frac{a}{c}}= e^{2\pi i (\frac{k}{N+1}) } \Rightarrow r_{1,k} = \sqrt{\frac{a}{c}}e^{\pi i (\frac{k}{N+1}) } \ \ \ , \ \ \ \ r_{2,k} = \sqrt{\frac{a}{c}}e^{-\pi i (\frac{k}{N+1}) } $$ میدانیم در معادلات درجه $2$ حاصجمع ریشه ها برابر قرینه ی ضریب $ x$ تقسیم بر ضریب جمله ی درجه$2$ است یعنی $ r_{1,k} +r_{2,k} = \frac{-(b-\lambda)}{c} = \frac{\lambda _{k} -b}{c}$ که با جایگذاری داریم:

$$ \sqrt{\frac{a}{c}}( e^{\pi i (\frac{k}{N+1}) }+e^{-\pi i (\frac{k}{N+1}) })= \frac{\lambda _{k}-b}{c} \Rightarrow $$ $$ \sqrt{\frac{a}{c}}(2cos(\frac{k}{N+1}) )= \frac{\lambda _{k}-b}{c} \Rightarrow $$ $$ \lambda _{k} = b+2 \sqrt{ac} cos( \frac{k \pi}{N+1} ) \qquad k=1 ,\ldots ,N $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
55 نفر آنلاین
0 عضو و 55 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3340
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712481
...