به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
3,188 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط امید
ویرایش شده توسط wahedmohammadi

ماتریس $N \times N $ سه قطری زیر را درنظر بگیرید ثابت کنید مقادیر ویژه ی $ \lambda _{k+1} $ بصورت زیر هستند: $$ \lambda _{k+1} =b+2 \sqrt{ac} cos( \frac{k \pi}{N} ) \qquad k=0 ,\ldots ,N-1$$

$$A= \begin{bmatrix}b & c& 0& 0& ... & 0& 0& 0\\a & b& c& 0& ... & 0& 0& 0\\0 & a & b& c& ... & 0& 0& 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &...& \vdots & \vdots & \vdots\\0 & 0& 0& 0& ...&a&b&c \\0 & 0& 0& 0& ...& 0&a&b\end{bmatrix} $$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

برای بدست آوردن مقدار ویژه توجه کنید که اگر $ \lambda $ یک مقدار ویژه باشد داریم بردار غیر صفر $ x=[ x_{1} , x_{2} ,... ,x_{N} ]^{T} $ وجود دارد که $Ax= \lambda x $ است. یعنی $(A- \lambda I)x=0 $ پس داریم:

$$ \begin{bmatrix}b-\lambda & c& 0& 0& ... & 0& 0& 0\\a & b-\lambda& c& 0& ... & 0& 0& 0\\0 & a & b-\lambda& c& ... & 0& 0& 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &...& \vdots & \vdots & \vdots\\0 & 0& 0& 0& ...&a&b-\lambda&c \\0 & 0& 0& 0& ...& 0&a&b-\lambda\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \vdots \\ x_{N-1} \\ x_{N} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ لذا داریم:

$$ \begin{bmatrix} (b-\lambda)x_{1}+cx_{2} \\ax_{1}+(b-\lambda)x_{2}+cx_{3} \\ ax_{2}+(b-\lambda)x_{3}+cx_{4} \\ \vdots \\ ax_{N-2}+(b-\lambda)x_{N-1}+cx_{N} \\ ax_{N-1}+(b-\lambda)x_{N} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

با تعریف $x_{0} =x_{N+1}=0 $ هرسطر برای هر $ 1 \leq j \leq N$ بصورت زیر بدست می آید: $$ax_{j-1}+(b-\lambda)x_{j}+cx_{j+1}=0 $$ میدانیم جواب چنین معادله ای را میتوان بصورت ریشه ی چند جمله ای مشخصه ی $ p(r)=c r^{2} +(b-\lambda)r+a $ بدست آوریم و اگر فرض کنیم ریشه ی $ p(r) $ بصورت $ r_{1} $ و $ r_{2} $ باشند آنگاه جواب معادلات متفاوت اولیه بصورت $ x_{j}= \alpha r_{1}^{j} + \beta r_{2}^{j}$ است.

میدانیم $x_{0} =0 $ لذا با جایگذاری در بالا داریم: $$0= x_{0}= \alpha r_{1}^{0} + \beta r_{2}^{0}= \alpha+ \beta \Rightarrow \beta=- \alpha$$ یعنی معادله ی کلی بصورت $ x_{j}= \alpha( r_{1}^{j} - r_{2}^{j})$ است و چون میدانیم $ x \neq 0$ لذا باید $ \alpha $ مخالف صفر باشد.

میدانیم $x_{N+1} =0 $ لذا با جایگذاری در بالا داریم: $$x_{N+1}= \alpha( r_{1}^{N+1} - r_{2}^{N+1}) \Rightarrow ( \frac{ r_{1}}{ r_{2}} )^{N+1}=1 $$ ریشه های $ p(r) $ (با روش دلتا) بصورت زیر هستند. $$ r_{1}= \frac{-(b-\lambda)+ \sqrt{ (b-\lambda)^{2}-4ca } }{2c} $$ $$ r_{2}= \frac{-(b-\lambda)- \sqrt{ (b-\lambda)^{2}-4ca } }{2c} $$ و میدانیم در معادلات درجه $2$ حاصلضرب ریشه ها برابر عدد ثابت تقسیم بر ضریب جمله ی درجه$2$ است یعنی $r_{1}r_{2} = \frac{a}{c} $ حال داریم: $$1=( \frac{ r_{1}}{ r_{2}} )^{N+1}=( \frac{ r_{1}^{2}}{ r_{1}r_{2}} )^{N+1}=( \frac{ r_{1}^{2}}{\frac{a}{c}} )^{N+1} $$ که جواب کلی معادله ی آخر در اصل بصورت مختلط است و داریم: $$ \frac{ r_{1}^{2}}{\frac{a}{c}}= e^{2\pi i (\frac{k}{N+1}) } \Rightarrow r_{1,k} = \sqrt{\frac{a}{c}}e^{\pi i (\frac{k}{N+1}) } \ \ \ , \ \ \ \ r_{2,k} = \sqrt{\frac{a}{c}}e^{-\pi i (\frac{k}{N+1}) } $$ میدانیم در معادلات درجه $2$ حاصجمع ریشه ها برابر قرینه ی ضریب $ x$ تقسیم بر ضریب جمله ی درجه$2$ است یعنی $ r_{1,k} +r_{2,k} = \frac{-(b-\lambda)}{c} = \frac{\lambda _{k} -b}{c}$ که با جایگذاری داریم:

$$ \sqrt{\frac{a}{c}}( e^{\pi i (\frac{k}{N+1}) }+e^{-\pi i (\frac{k}{N+1}) })= \frac{\lambda _{k}-b}{c} \Rightarrow $$ $$ \sqrt{\frac{a}{c}}(2cos(\frac{k}{N+1}) )= \frac{\lambda _{k}-b}{c} \Rightarrow $$ $$ \lambda _{k} = b+2 \sqrt{ac} cos( \frac{k \pi}{N+1} ) \qquad k=1 ,\ldots ,N $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
55 نفر آنلاین
0 عضو و 55 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3536
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5009188
...