به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
42 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط aria_amirkarimi
ویرایش شده توسط aria_amirkarimi

در شکل زیر AC وتر مثلث قائمالزاویۀ ABC است، 1= BC =2 ، AB و چهارضلعی DEFG مربع است. در ضمن دایرۀ به مرکز A و شعاع AB از نقطۀ G گذشته است. طول پاره خط DE چقدر است؟ enter image description here

مرجع: چالش هندسه چيتا سوال ١٩

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

چون سه‌گوشِ FEC متشابه سه‌گوش ABC است از قضیهٔ تالس باید عددِ $k$ای وجود داشته باشد که $$FE=k,\;EC=2k,\;FC=\sqrt{5}k$$ و چون چهارگوشِ GDEF مربع است $GD=DE=EF=FG=k$. فرض کنید مبدأ مختصات در نقطهٔ B قرار دارد. مختصات نقطهٔ G برابر است با $$x_G=2-3k,\;y_G=k$$ از طرف دیگر این نقطه بر روی دایرهٔ به مرکز A و شعاع AB قرار دارد. مکان نقطه‌های روی این دایره در برابریِ $(y-1)^2+x^2=1$ صدق می‌کنند پس باید $$(y_G-1)^2+x_G^2=1$$ دو یافتهٔ پیشین با هم نتیجه می‌دهند که $(k-1)^2+(2-3k)^2=1$ با ساده کردن یک برابریِ درجهٔ دو $10k^2-4k+4=0$ داریم. این برابری دو ریشه دارد $$k=0.4,\;k=1$$ که $k=0.4$ مربوط به نقطهٔ G -ِ نمایش داده‌شده در تصویر شماست در حالیکه $k=1$ مربوط به نقطهٔ دیگری است که هم بر روی دایره وجود دارد و هم درازا و پهنایش (طول و عرضش) با هم نسبت خواسته‌شده را دارند که در شکل زیر چپ‌ترین نقطهٔ بالایی است. پس پاسخ پرسش $DE=k=0.4$ است. enter image description here

دارای دیدگاه توسط aria_amirkarimi
در عبارت اول كه نوشتيد مگر FC=راديكال 5 نميشود؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
@aria_amirkarimi ممنون تصحیح شد، ولی در پاسخ تغییری ایجاد نمی‌کند چون استفاده نشده‌بود.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...