به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
36 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط alineysi

در مجموعه اعداد
$ \lbrace۱،۲،۳...،۱۳۸۶\rbrace $
بزرگترین زیرمجموعه ای که تفاضل هیچ دو عضو آن عدد اول نباشد چند عضوی است؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Mohammadamin
انتخاب شده توسط alineysi
 
بهترین پاسخ

این زیر مجموعه شامل اعداد ۱۳۸۵ و۱۳۸۱...،۱،۵،۹،۱۳ است که ۳۴۷ عضو دارد. واضح است که تفاضل هر دو عضوی از این زیرمجموعه مضربی طبیعی از ۴ است ، بنابراین تفاضل هیچ دو عضوی اول نیست. فرض خلف میکنیم میتوانیم عضوی به این زیرمجموعه اضافه کنیم و هنوز هم تفاضل هیچ دو عضوی اول نباشد، انگاه قطعا تفاضل این عضو با یکی دیگر از اعضای این زیرمجموعه ۲،۳یا ۵ خواهد بود که هر سه اول هستند، بنابرابن فرض باطل است و جواب همان۳۴۷ است.

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
@alineysi اعضایِ مجموعه‌ای که آقای @Mohammadamin نوشته‌اند را به شکلِ $4k-3$ ببینید، $k=1$ نخستین عنصر را می‌دهد و الی آخر. باید دید که برای کدام مقدار از $k$ به عدد ۱۳۸۵ می‌رسیم که برابر با حل‌کردنِ $4k-3=1385$ است که می‌دهد $k=347$. پس ۳۴۷ عضو در این مجموعه است. به نظرم منبع شما جزء‌صحیح تقسیم ۱۳۸۵ یا ۱۳۸۶ بر ۴ را در نظر گرفته‌است ولی این شمارش عدد ۱ شروع مجموعه را جا می‌اندازد و از ۵ شروع به شمردن می‌کند یعنی عناصر مجموعه را به شکل $4k+1$ نگاه کرده‌است بدون دقت به اینکه $k=1$ مقدار ۵ را می‌دهد و برای جا نیانداختنِ عدد ۱ باید $k=0$ را نیز در این حالت بشمارد که بعلاوهٔ یک کردن جزءصحیح مذکور را می‌طلبد.
دارای دیدگاه توسط Mohammadamin
فکر میکنم منظور شما از ۳۷۴ ، ۳۴۷ بوده است که به اشتباه تایپ شده است.
دارای دیدگاه توسط alineysi
+2
باسلام.سوال تستی بوده که دربین گزینه ها عدد ۳۴۷ نبود.حتما اشتباهی در گزینه ها بود.جواب اقای محمد امین درست هست .ممنون از شما دو بزرگوار
دارای دیدگاه توسط Mahdimoro
این پاسخ نادرست است یا حداقل ناقص است زیرا شما فقط برای مجموعه ی پیشنهادی خودتان ثابت کرده اید نمیتوان عضوی اضافه کرد. در صورتیکه باید در حالت کلی ثابت کنید هیچ مجموعه ی 348 عضوی وجود ندارد.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@Mahdimoro هر چهار عدد متوالی را یک لانه و یک لانه هم برای دو عدد آخر در نظر بگیرید و ۳۴۸ عددی که می‌خواهید انتخاب کنید را کبوتر، بنابراصل لانهٔ کبوتری دست کم دو عدد از مجموعهٔ شما دارای اختلاف کمتر اکید از ۴ یعنی ۳ یا ۲ یا ۱ خواهند بود. بنابراین مجموعه‌ای که @Mohammadamin معرفی کرده‌اند بهترین حالت است.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...