چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
174 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط زانا
ویرایش شده

حاصل انتگرالهای زیر را بدست آورید؟

الف) $ \int \sqrt{tan \ x} dx $

ب) $ \int \frac{dx }{ \sqrt{1+ e^{x} } } $

4 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Reza.S

کوتاه ترین روش برای حل اولی (تانژانت) که من پیدا کردم اینه $$y= \int \sqrt{tanx } \ dx \\ g= \int\sqrt{cotx}\ dx\\ y+g=\int \sqrt{tanx}+\sqrt{cotx} \ dx=\sqrt {2}\int\frac{sinx+cosx}{\sqrt{sin2x}}\\ y+g=\sqrt{2}\int \frac {(sinx-cosx)'}{\sqrt{1-(sinx-cosx)^2}}\\ y+g=\sqrt{2}\ \int\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}dx=\sqrt{2}\arcsin(u)\\ *y+g=\sqrt{2}arcsin(sinx-cosx)\\ y-g=\int\sqrt{tanx}-\sqrt{cotx } \ dx =\sqrt{2}\int\frac{sinx-cosx}{\sqrt{sin2x}}\\ y-g=-\sqrt{2}\int\frac{(sinx+cosx)'}{\sqrt{(sinx+cosx)^2-1}} dx =-\sqrt{2}\int\frac{s'}{\sqrt{s^2-1}}\ dx\\ y-g=-\sqrt{2}arcosh(sinx+cosx) * * \\ \frac{(y-g)+(y+g)}{2}=y\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}(arcsin(sinx-cosx)-arccosh(sinx+cos)) $$

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

برای انتگرال ب از رادیکال در مخرج $e^{x} $ را فاکتور میگیریم و ازرادیکال بیرون میبریم داریم: $$ \int \frac{dx }{ \sqrt{1+ e^{x} } }= \int \frac{dx }{ \sqrt{e^{x} ( e^{-x} +1)} } = \int \frac{dx }{e^{ \frac{x}{2} } \sqrt{ ( e^{-x} +1)} }=\int \frac{e^{ \frac{-x}{2} }dx }{ \sqrt{ ( e^{-x} +1)} } $$

حال از تغییر متغییر $ u=e^{ \frac{-x}{2} } ( \Rightarrow u^{2} =e^{ -x })$ استفاده میکنیم لذا داریم: $$du= -\frac{1}{2}e^{ \frac{-x}{2} }dx \Rightarrow e^{ \frac{-x}{2} }dx=-2du $$ لذا داریم: $$ \int \frac{dx }{ \sqrt{1+ e^{x} } }=\int \frac{e^{ \frac{-x}{2} }dx }{ \sqrt{ ( e^{-x} +1)} } = \int \frac{-2du }{ \sqrt{u^{2} +1 } } $$

حال از تغییر متغییر $ u=tan \theta $ استفاده میکنیم داریم: $1+u^{2}=1+tan^{2} \theta =sec^{2} \theta $ و $du= (1+tan^{2} \theta )d \theta =sec^{2} \theta d\theta $ $$ \int \frac{-2du }{ \sqrt{u^{2} +1 } } =-2 \int \frac{sec^{2} \theta d \theta }{ \sqrt{sec^{2} \theta }} =-2\int sec \theta d\theta=-2ln( \mid sec \theta+tan \theta \mid )+C=-2ln( \mid \sqrt{u^{2} +1 }+u \mid )+C$$

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Reza.S

کوتاه ترین پاسخ قسمت دوم

$$ y=\int \frac{dx}{\sqrt{1+e^x}} \\u^2=1+e^x \Longrightarrow du=\frac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}}dx \Longrightarrow dx=2\frac{\sqrt{1+e^x}}{e^x} \\ y=2 \int \frac{1}{\sqrt{1+e^x}}\frac{\sqrt{1+e^x}}{e^x}\ du =-2 \int\frac{1}{1-u^2} \ du \\ y=-2arccoth(\sqrt{1+e^x})+C $$
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

برای حل الف قرار میدهیم : $u= \sqrt{tan \ x} \Rightarrow u^{2} =tan \ x$ لذا داریم: $$2udu=(1+tan^{2}x)dx =(1+ u^{4})dx \Rightarrow dx= \frac{2udu}{1+ u^{4}} $$ لذا انتگرال بصورت زیر در می آید: $$ \int \sqrt{tan \ x} dx = \int u \times \frac{2udu}{1+ u^{4}}=\int \frac{2 u^{2} du}{1+ u^{4}} $$

عبارت $ 2 u^{2} $ را در مخرج یکبار کم و یکبار اضافه میکنیم لذا داریم: $$ \int \frac{ 2u^{2} du}{1+ u^{4}+2 u^{2}-2 u^{2}} = \int \frac{ 2u^{2} du}{(1+ u^{2})^{2}-( \sqrt{2} u)^{2}} = \int \frac{ 2u^{2} du}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)(1+ u^{2}- \sqrt{2} u)}$$

حال کسر را تجزیه میکنیم: $$ \frac{ 2u^{2} }{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)(1+ u^{2}- \sqrt{2} u)}=\frac{ Au+B }{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)}+\frac{ Cu+D}{(1+ u^{2}- \sqrt{2} u)} =\frac{ (A+C)u^{3}+(C-A)\sqrt{2}u^{2}+(B+D)u^{2}+(B+D)}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)(1+ u^{2}- \sqrt{2} u)}$$ با مقایسه صورتها و اینکه صورت کسر اول مقدار عددی نداره داریم $(B+D)=0 $ و اینکه $ u^{3} $ نداره لذا $(A+C)=0 \Rightarrow C=-A $ و با مقایسه ی ضرایب $ u^{2} $ داریم $A=-\sqrt{2} $

یعنی انتگرال بصورت جمع دو انتگرال زیر نوشته میشود که هر یک را جداگانه بدست می آوریم و در آخر در کنار هم مینویسیم. $$ \int \sqrt{tan \ x} dx = \int \frac{ -\sqrt{2}udu}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} +\int \frac{ \sqrt{2}udu}{(1+ u^{2}- \sqrt{2} u)}=(i)+(ii) $$

$$(i) \ \ \ \ \int \frac{ -\sqrt{2}udu}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)}= \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{ 2u}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} du=\\ \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{ 2u+\sqrt{2}-\sqrt{2}}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} du= \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{ 2u+\sqrt{2}}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} du- \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{ \sqrt{2}}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} du$$ که خود این انتگرال به دو انتگرال تبدیل شد هر یک را جدا گانه حساب میکنیم برای محاسبه ی اولی قرار میدهیم : $$w= (1+ u^{2}+ \sqrt{2} u) \Rightarrow dw=(2u+\sqrt{2})du $$ لذا داریم: $$ \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{ 2u+\sqrt{2}}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} du= \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{dw}{w}= \frac{-\sqrt{2}}{2}ln( \mid w \mid ) =\frac{-\sqrt{2}}{2}ln( \mid 1+ u^{2}+ \sqrt{2} u \mid ) +C _{1} $$ برای دومی مخرج را مربع کامل میکنیم: $$ \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{ \sqrt{2}}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} du=- \int \frac{du}{(u+ \frac{\sqrt{2}}{2} )^{2}+ \frac{1}{2} }= - 2\int \frac{du}{(u\frac{2}{\sqrt{2}}+ 1 )^{2}+ 1 } = - 2tan^{-1}(u\frac{2}{\sqrt{2}}+ 1) +C _{2}$$

پس انتگرال $ (i) $ برابر است با $$\frac{-\sqrt{2}}{2}ln( \mid 1+ u^{2}+ \sqrt{2} u \mid ) + 2tan^{-1}(u\frac{2}{\sqrt{2}}+ 1)+ C _{3}$$ دقیقا بطور مشابه انتگرال دوم حساب می شود لذا داریم:

$$ \int \sqrt{tan \ x} dx = \int \frac{ -\sqrt{2}udu}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} +\int \frac{ \sqrt{2}udu}{(1+ u^{2}- \sqrt{2} u)}= \frac{-\sqrt{2}}{2}ln( \mid 1+ u^{2}+ \sqrt{2} u \mid ) + 2tan^{-1}(u\frac{2}{\sqrt{2}}+ 1)+\frac{\sqrt{2}}{2}ln( \mid 1+ u^{2}- \sqrt{2} u \mid ) + 2tan^{-1}(u\frac{2}{\sqrt{2}}- 1)+C$$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
61 نفر آنلاین
0 عضو و 61 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3269
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712410
...