به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
56 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط aria_amirkarimi
ویرایش شده توسط aria_amirkarimi

در دايره $ w_{1} $ و $ w_{2} $ به ترتيب به مركز هاى $ O_{1} $ و $ O_{2} $ در دو نقطه A و B متقاطعند . خط $ O_{1}B $ براى بار دوم در نقطه ى C با $ w_{2} $ و خط $ O_{2}A $ براى بار دوم در نقطه ى D با $ w_{1} $ برخورد ميكنند . نقاط X و Y به ترتيب محل دوم برخورد AC با $ w_{1} $ و محل دوم برخورد BD با $ w_{2} $ هستند . ثابت كنيد CX =DYenter image description here

مرجع: سوال سوم سطح متوسط پنجمين المپياد هندسه ايران
دارای دیدگاه توسط aria_amirkarimi
+1
شکل سوال اضافه شد
دارای دیدگاه توسط MSS
ویرایش شده توسط MSS
به نظر می آید (حدس می زنم) که مثلث های ADY و BXC برابر باشند.
یعنی CX=DY   و   AD=BX   و   AY=BC

پس یعنی باید کمان های  AD=BX   و   AY=BC باشند.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط MSS
ویرایش شده قبل توسط MSS
 
بهترین پاسخ

enter image description here

من پاسخ را خلاصه مینویسم. چون سوال مربوط به المپیاد است، تفصیل اثبات را خودتان پیدا کنید.


مرحله اول : در شکل بالا خط DE دو کمان برابر در دو دایره ایجاد میکند. یعنی کمان DAB برابر کمان BE است. خط CF دو کمان برابر در دو دایره ایجاد میکند. یعنی کمان CBA برابر کمان AFاست. همچنین کمان AD برابر کمان AY و کمان BX برابر کمان BC است (روبرو به یک زاویه محاطی). پس:

$ \widehat{B2} + \widehat{B3} = \widehat{A1} $

و $ \widehat{A2} + \widehat{A3} = \widehat{B1} $

با جمع دو رابطه نتیجه می گیریم: $ \widehat{A4} = \widehat{B4} $


مرحله دوم: ثابت می کنیم که چهار ضلعی DAXB ذوزنقه متساوی الساقین است. پس AD=BX

اول اثبات موازی بودن دو خط AC و BD

در دایره بزرگ:$ \widehat{B3} + \widehat{B4} = \widehat{A1} +90$

در دایره کوچک:$ \widehat{D} + \widehat{B1} + \widehat{B2} =90$

در نتیجه:$ \widehat{A1} = \widehat{D} $

دوم اثبات تساوی دو زاویه کنار دوساق:

$ \widehat{AXB} + \widehat{B2} + \widehat{B3} =180$

ازطرفی

$ \widehat{A1} + \widehat{A2} + \widehat{A3} + \widehat{A4} =180$

در نتیجه:

$ \widehat{DAX} = \widehat{AXB} $

مرحله سوم: ثابت می کنیم که چهار ضلعی AYBC ذوزنقه متساوی الساقین است. پس AY=BC

نتیجه: پس مثلث های ADY و BXC برابرند و DY=CX

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...