به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
87 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط

به چند طریق میتوانیم ۱۵ کلاه متمایز را روی ۶ صندلی قرار دهیم اگر بخواهیم روی هر صندلی حداقل یک کلاه قرار بگیرد؟

2 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

این پاسخ دیگر درست است


فرض کنید تعداد راه های قرار دادن ۱۵ کلاه روی $n$ صندلی به شرط اینکه هیچ صندلی خالی نباشد $a_{n} $ باشد.حال میتوان $ a_{n} $ را به صورت زیر با استفاده از اصل متمم و رابطه ی بازگشتی حساب کرد:

-تعداد کل حالات قرار دادن $n$ کلاه برابر است با $ n^{15} $

-تعداد حالاتی که دقیقا یک صندلی خالی بماند برابر است با $ \binom{n}{1} a_{n-1} $. به این دلیل که باید ابتدا یک صندلی خالی انتخاب کرد و سپس 15 کلاه را روی بقیه ی صندلی ها قرار داد که برابر است با $ a_{n-1} $

-تعداد حالاتی که دقیقا دو صندلی خالی باشد برابر است با $ \binom{n}{2} a_{n-2} $ که استدلال مشابه قبلی است.

-.....

-

-

-

-تعداد حالاتی که دقیقا $n-1$ صندلی خالی باشد برابر است با $ \binom{n}{n-1} a_{1} $


پس $ a_{n} $ برابر است با: $$ n^{15} -( \binom{n}{1} a_{n-1} + \binom{n}{2} a_{n-2} +...+ \binom{n}{n-1} a_{1} )$$

میتوان با استفاده از استقرا و رابطه ی بالا و کمی ساده کردن به این نتیجه رسید که: $$ a_{n} = \binom{n}{0} n^{15} - \binom{n}{1} (n-1)^{15} + \binom{n}{2} (n-2)^{15} - ... + (-1)^{n+1} \binom{n}{n-1} 1^{15} $$

پس $ a_{6} $ که جواب سوال است برابر است با: $$ \binom{6}{0} 6^{15} - \binom{6}{1} 5^{15} + \binom{6}{2} 4^{15} - \binom{6}{3} 3^{15} + \binom{6}{4} 2^{15} - \binom{6}{5} 1^{15} $$

دارای دیدگاه توسط
احتمالا باید کوتاه ترین باشد مگر اینکه جواب نهایی که نوشته ام یک اتحاد باشد و ساده شود
دارای دیدگاه توسط
+1
@Mahdimoro زمانی که پاسخ‌تان را تصحیح می‌کنید باید بر روی ویرایش پاسخ قبلی کلیک کنید و پاسخ را تغییر دهید نه اینکه پاسخ نادرست را نگه دارید و پاسخ جدید را در قالب پاسخی دیگر پست کنید. چون پاسخ نادرست پاسخی برای این پرسش نیست که در زیر این پرسش بماند.
دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
+1
اگر ترتیب قرار گرفتن کلاه ها هم مد نظر باشد چطور میشود؟
یعنی اگر ab روی صندلی با ba متفاوت باشد؟
دارای دیدگاه توسط
+1
@MSS ترتیب قرارگیری کلاه‌ها در این پرسش مدنظر نیست چون چیزی که به آن اشاره کند در صورت پرسش نیامده‌است. ولی پرسش جدید خوبی است.
دارای دیدگاه توسط
@Mahdimoro منظور من جواب شما نیست ، بلکه خود راه حل را میگویم . مثلا فکر میکنم سوال از طریق حل معادله سیاله نیز به جواب برسد اما راه حل دقیق این را نمیدانم.
–2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

فرض کنید روی صندلی $k$ام $ x_{k} $ کلاه باشد، در اینصورت باید معادله ی زیر را در اعداد طبیعی حل کرد: $$ x_{1} + x_{2} +...+ x_{6} =15$$

که تعداد جواب های آن برابر است با: $$ \binom{15-1}{6-1} = \binom{14}{5} $$

دارای دیدگاه توسط
+2
ولی این پاسخ تفاوتِ کلاه‌ها را لحاظ نمی‌کند یعنی اینکه کلاه یک روی صندلی یک باشد و سایر کلاه‌ها روی صندلی دو را با اینکه کلاه دو روی صندلی یک باشد و سایر کلاه‌ها روی صندلی دو یکی می‌شمرد.
دارای دیدگاه توسط
بله درست میگید. حواسم به متفاوت نبود
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...