به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
107 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Mohammadamin

به چند طریق میتوانیم ۱۵ کلاه متمایز را روی ۶ صندلی قرار دهیم اگر بخواهیم روی هر صندلی حداقل یک کلاه قرار بگیرد؟

2 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Mahdimoro
ویرایش شده توسط Mahdimoro

این پاسخ دیگر درست است


فرض کنید تعداد راه های قرار دادن ۱۵ کلاه روی $n$ صندلی به شرط اینکه هیچ صندلی خالی نباشد $a_{n} $ باشد.حال میتوان $ a_{n} $ را به صورت زیر با استفاده از اصل متمم و رابطه ی بازگشتی حساب کرد:

-تعداد کل حالات قرار دادن $n$ کلاه برابر است با $ n^{15} $

-تعداد حالاتی که دقیقا یک صندلی خالی بماند برابر است با $ \binom{n}{1} a_{n-1} $. به این دلیل که باید ابتدا یک صندلی خالی انتخاب کرد و سپس 15 کلاه را روی بقیه ی صندلی ها قرار داد که برابر است با $ a_{n-1} $

-تعداد حالاتی که دقیقا دو صندلی خالی باشد برابر است با $ \binom{n}{2} a_{n-2} $ که استدلال مشابه قبلی است.

-.....

-

-

-

-تعداد حالاتی که دقیقا $n-1$ صندلی خالی باشد برابر است با $ \binom{n}{n-1} a_{1} $


پس $ a_{n} $ برابر است با: $$ n^{15} -( \binom{n}{1} a_{n-1} + \binom{n}{2} a_{n-2} +...+ \binom{n}{n-1} a_{1} )$$

میتوان با استفاده از استقرا و رابطه ی بالا و کمی ساده کردن به این نتیجه رسید که: $$ a_{n} = \binom{n}{0} n^{15} - \binom{n}{1} (n-1)^{15} + \binom{n}{2} (n-2)^{15} - ... + (-1)^{n+1} \binom{n}{n-1} 1^{15} $$

پس $ a_{6} $ که جواب سوال است برابر است با: $$ \binom{6}{0} 6^{15} - \binom{6}{1} 5^{15} + \binom{6}{2} 4^{15} - \binom{6}{3} 3^{15} + \binom{6}{4} 2^{15} - \binom{6}{5} 1^{15} $$

دارای دیدگاه توسط Mohammadamin
ممنون از شما ، بنظرم پاسختان درست است اما شاید کوتاهترین و بهترین راه حل نباشد.
دارای دیدگاه توسط Mahdimoro
احتمالا باید کوتاه ترین باشد مگر اینکه جواب نهایی که نوشته ام یک اتحاد باشد و ساده شود
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
@Mahdimoro زمانی که پاسخ‌تان را تصحیح می‌کنید باید بر روی ویرایش پاسخ قبلی کلیک کنید و پاسخ را تغییر دهید نه اینکه پاسخ نادرست را نگه دارید و پاسخ جدید را در قالب پاسخی دیگر پست کنید. چون پاسخ نادرست پاسخی برای این پرسش نیست که در زیر این پرسش بماند.
دارای دیدگاه توسط MSS
ویرایش شده توسط MSS
+1
اگر ترتیب قرار گرفتن کلاه ها هم مد نظر باشد چطور میشود؟
یعنی اگر ab روی صندلی با ba متفاوت باشد؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
@MSS ترتیب قرارگیری کلاه‌ها در این پرسش مدنظر نیست چون چیزی که به آن اشاره کند در صورت پرسش نیامده‌است. ولی پرسش جدید خوبی است.
دارای دیدگاه توسط Mohammadamin
@Mahdimoro منظور من جواب شما نیست ، بلکه خود راه حل را میگویم . مثلا فکر میکنم سوال از طریق حل معادله سیاله نیز به جواب برسد اما راه حل دقیق این را نمیدانم.
–2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Mahdimoro

فرض کنید روی صندلی $k$ام $ x_{k} $ کلاه باشد، در اینصورت باید معادله ی زیر را در اعداد طبیعی حل کرد: $$ x_{1} + x_{2} +...+ x_{6} =15$$

که تعداد جواب های آن برابر است با: $$ \binom{15-1}{6-1} = \binom{14}{5} $$

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+2
ولی این پاسخ تفاوتِ کلاه‌ها را لحاظ نمی‌کند یعنی اینکه کلاه یک روی صندلی یک باشد و سایر کلاه‌ها روی صندلی دو را با اینکه کلاه دو روی صندلی یک باشد و سایر کلاه‌ها روی صندلی دو یکی می‌شمرد.
دارای دیدگاه توسط Mahdimoro
بله درست میگید. حواسم به متفاوت نبود

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...