چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
555 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط yosef.sobhi
ویرایش شده توسط fardina

آیا $ L^{1} (x) $ یک فضای هیلبرت است ؟ چرا؟

دارای دیدگاه توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm
$ f=\chi_{ [0,1]}, g=\chi_{ [1,2]}  $در قانون متوازی الاضلاع صدق نمیکنند لذا$L_{1}$فضای هیلبرت نیست.
البته این مثال نقضی برای تمام $L_{p}$ غیر از $L_{2}$ است چون برای هر $p$ تنها زمانی قضیه متوازی الاضلاع برای این دو تابع برقرار میشه که $p=2$ باشد.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

خیر فضای هیلبرت نیست.

یک نرم $ \|.\|$ از یک ضرب داخلی القا می شود اگر و تنها اگر در قانون متوازی الاضلاع صدق کند یعنی: $$ \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2) $$

مثلا $f,g\in L^1[0,1] $ را به صورت $ f(x)=x $ و $ g(x)=1-x $ در نظر بگیرید. و خواهید دید که قانون متوازی الاضلاع در مورد نرم $ \|.\|_1 $ که به صورت $\|f\|_1=\int_0^1 |f|d\mu $ تعریف می شود برقرار نیست.

از بین $ L^p $ ها تنها $L^2 $ یک فضای هیلبرت است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
54 نفر آنلاین
0 عضو و 54 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3542
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687350
...