چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
115 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

در مثلث $ ABC $ نقطه $ D $ روی ضلع $ BC $ به گونه ای قرار گرفته که زاویه های $ \widehat{BAD} $ و $ \widehat{CAD} $ و $ \widehat{ABC} $ باهم برابرند و طول پاره خط های $ BD $ و $ DC $ به ترتیب برابر 1 و 2 است. طول $ AB $ چقدر است؟

1) $ \sqrt{2} $

2) $ \sqrt{3} $

3) $ \frac{\sqrt{6} }{2} $

4) $ \frac{\sqrt{3} }{2}$

5) $ \frac{\sqrt{6} }{3}$

3 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط zh
انتخاب شده توسط erfanm
 
بهترین پاسخ

جواب میشه $ \frac{ \sqrt{6} }{2} $ . زیرا با توجه به شکل زیر، با توجه به قانون کسینوس و قضیه ای از هندسه " در هر مثلث، نیمساز زاویه داخلی، ضلع روبرو به آنرا به نسبت دو ضلع زاویه قطع میکند" یعنی: $ \frac{AB}{AC}= \frac{BD}{DC} $ . لذا نتیجه میشود $ AB= \frac{1}{2}AC $.

با توجه به قضیه کسینوسها در مثلث $ ABD$ داریم:

$ AB^{2} = 2(1+\cos A) $.

از طرفی در مثلث $ ADC $ با توجه به قانون کسینوسها داریم:

$ AC^{2}=5-4\cos A $.

لذا باتوجه به اینکه $ AB= \frac{1}{2}AC $ , و حل معادله ی حاصل از آن یعنی

$ 8+8\cos A=5 - 4\cos A $

داریم $ \cos A= \frac{-1}{4} $

و با جایگذاری آن در معادله اول به دست می اید $ AB= \frac{ \sqrt{6} }{2} $ .

enter image description here

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina

اگر در مثلث $ ABC $ نیمساز راس $ A $ که آن را $ AD $ مینامیم رسم کنیم دو رابطه ی زیر همواره برقرار هستند(هندسه 2)

enter image description here

$$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} $$ $$ (AD)^{2} =AB.AC-BD.DC$$

حال چون در این سوال دو زاویه از مثلث کوچک $ ABD $ طبق فرض سوال برابرند لذا این مثلث متساوی الساقین است یعنی $ AD=BD=1 $ پس با جایگذاری مقادیر داده شده در دو رابطه بالا داریم:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{1}{2} $ لذا $ 2AB=AC $

$ (1)^{2} =AB.AC-1 \times 2$ لذا $ 3=AB.AC $

پس با جایگذاری $ 2AB=AC $ در رابطه بدست آمده داریم :

$ 3=AB.(2AB) \Rightarrow \frac{6}{4} =\frac{3}{2} = (AB)^{2} $

یعنی

$ AB= \frac{ \sqrt{6} }{2} $
0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط ARZHANG ARBAB

راه حل هایی که توسط دو عزیز در بالا داده شده است بسیار خوب است ولی راه ساده ی دیگری نیز وجود دارد ،که به این شرح است: نیمساز زاویه Dرا رسم می کنیم و محل برخورد آنرا با AC، را با حرف K نمایش میدهیم،بوضوح پیداست که نیمسازی که کشیدیم با خط AB موازی است ،طبق قضیه نیمساز ها ،نیمسازی که از زاویه Dرسم شد ضلع ACرا به نسبت 1 و2 تقسیم می کند ،طبق تالس(DK =$ \frac{2AB}{3} $(AB , و از طرف دیگر از تشابه دو مثلثADK وABD می توانیم DK را بدست آوریم که برابر با $ \frac{1}{AB} $ میشود ،با حل یک معادله ی ساده به جواب میرسیم.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
64 نفر آنلاین
0 عضو و 64 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4410
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4699450
...