چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
69 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط شادی
ویرایش شده توسط fardina

مثالی برای$R$-مدول راستی مثل $M$ و$R$مدول چپی مثل $N$بااین ویژگی که$ M \bigotimes N$,روی $R$عضوی مثل $u$دارد که به ازای هر عضواز$M$مثل $x$وهر عضو از$N$ مثل $y $ $$u \neq x \otimes y$$.

مرجع: مقدمه ای برنظریه ی مدول ها نویسندگان:یاسمی وپورنکی فصل 5سوال 19

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

فرض کنید $M$ یک $R$-مدول(آزاد) با پایه ی $ \{ e_{1} , e_{2} \} $ باشد. $ N$ را هم برابر $ M $ میگیریم. میدانیم رابطه زیر برقرار است .$$ \sum_{i=1}^n a_{i} e_{i} \otimes \sum_{j=1}^n b_{j} e_{j} =\sum_{i,j=1}^n a_{i} b_{j} e_{i} \otimes e_{j} \tag{1} \label{1} $$ حال قرار میدهیم $u=e_{1} \otimes e_{1}+e_{2} \otimes e_{2} $ و ثابت میکنیم که به ازای هر عضواز$M$مثل $x$وهر عضو از$N=M$ مثل $y $ داریم: $$u \neq x \otimes y$$.

فرض خلف: فرض $ x,y $ موجود باشند که $ u = x \otimes y $

هر عضو دلخواه از $M $ به صورت $a_{1} e_{1}+a_{2} e_{2} $ است پس فرض کنید $x=a_{1} e_{1}+a_{2} e_{2} $ و$y=b_{1} e_{1}+b_{2} e_{2} $ باشند.

طبق $ \eqref{1}$ داریم:

$$x \otimes y=a_{1} e_{1}+a_{2} e_{2} \otimes b_{1} e_{1}+b_{2} e_{2}=a_{1} b_{1} e_{1} \otimes e_{1}+a_{1} b_{2} e_{1} \otimes e_{2} + a_{2} b_{1} e_{2} \otimes e_{1}+a_{2} b_{2} e_{2} \otimes e_{2}$$ که اگر برابر $u $باشد باید داشته باشیم: $$a_{1} b_{1}=1 \ \ \ \, a_{1} b_{2}=0 \ \ \ \ , a_{2} b_{1} =0 \ \ \ \,a_{2} b_{2} =1$$

دو رابطه ی اول و آخر بیان میکنند که $a_{1} $و$ b_{2}$ وارون پذیرند اما این با $ a_{1} b_{2}=0 $ در تناقض است لذا فرض خلف باطل و حکم ثابت شد.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3242
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712383
...