به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
70 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط شادی
ویرایش شده توسط fardina

مثالی برای$R$-مدول راستی مثل $M$ و$R$مدول چپی مثل $N$بااین ویژگی که$ M \bigotimes N$,روی $R$عضوی مثل $u$دارد که به ازای هر عضواز$M$مثل $x$وهر عضو از$N$ مثل $y $ $$u \neq x \otimes y$$.

مرجع: مقدمه ای برنظریه ی مدول ها نویسندگان:یاسمی وپورنکی فصل 5سوال 19

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

فرض کنید $M$ یک $R$-مدول(آزاد) با پایه ی $ \{ e_{1} , e_{2} \} $ باشد. $ N$ را هم برابر $ M $ میگیریم. میدانیم رابطه زیر برقرار است .$$ \sum_{i=1}^n a_{i} e_{i} \otimes \sum_{j=1}^n b_{j} e_{j} =\sum_{i,j=1}^n a_{i} b_{j} e_{i} \otimes e_{j} \tag{1} \label{1} $$ حال قرار میدهیم $u=e_{1} \otimes e_{1}+e_{2} \otimes e_{2} $ و ثابت میکنیم که به ازای هر عضواز$M$مثل $x$وهر عضو از$N=M$ مثل $y $ داریم: $$u \neq x \otimes y$$.

فرض خلف: فرض $ x,y $ موجود باشند که $ u = x \otimes y $

هر عضو دلخواه از $M $ به صورت $a_{1} e_{1}+a_{2} e_{2} $ است پس فرض کنید $x=a_{1} e_{1}+a_{2} e_{2} $ و$y=b_{1} e_{1}+b_{2} e_{2} $ باشند.

طبق $ \eqref{1}$ داریم:

$$x \otimes y=a_{1} e_{1}+a_{2} e_{2} \otimes b_{1} e_{1}+b_{2} e_{2}=a_{1} b_{1} e_{1} \otimes e_{1}+a_{1} b_{2} e_{1} \otimes e_{2} + a_{2} b_{1} e_{2} \otimes e_{1}+a_{2} b_{2} e_{2} \otimes e_{2}$$ که اگر برابر $u $باشد باید داشته باشیم: $$a_{1} b_{1}=1 \ \ \ \, a_{1} b_{2}=0 \ \ \ \ , a_{2} b_{1} =0 \ \ \ \,a_{2} b_{2} =1$$

دو رابطه ی اول و آخر بیان میکنند که $a_{1} $و$ b_{2}$ وارون پذیرند اما این با $ a_{1} b_{2}=0 $ در تناقض است لذا فرض خلف باطل و حکم ثابت شد.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
45 نفر آنلاین
0 عضو و 45 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2153
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5007805
...