چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
104 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط erfanm
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

یک عدد طبیعی را کوچولو می نامیم هرگاه دست کم سه مقسوم علیه مثبت داشته باشد و برابر مجموع کوچکترین سه مقسوم علیه مثبتش باشد چند عدد کوچولو وجود دارد؟

  1. $ 0 $
  2. $ 1 $
  3. $ 3 $
  4. $ 6 $
  5. بینهایت

2 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط erfanm
 
بهترین پاسخ

فرض $ n $ عدد طبیعی کوچولوی دلخواهی باشه نشان میدهیم $ n $ باید برابر 6 باشد لذا فقط و فقط یک عدد کوچولو داریم

فرض عدد اول $ p $ کوچکترین عدد اولی باشه که $ n$ رو عاد میکنه لذا $ n=kp$ دو حالت داریم

1)فرض عدد اول دیگری غیر از $ p $ مانند $ q $ موجود باشد که $n $ را عاد میکند لذا از $ p $ بزرگتر است و چون هردو اول هستند باید $ k $ را عاد کند یعنی $ q \leq k $ اگر بعد از $ p $ ، $ q $ کوچکترین مقسوم علیه $ n $ باشد آنگاه $ n $ برابر مجموع $1+p+q $ است در غیر اینصورت داریم

$ n \leq 1+p+q \leq 2q \leq 2k \leq kp=n $

لذا باید طرفین برابر باشند لذا $ 2k=kp $ یعنی $ 2=p$ و همچنین $ 1+p+q =2q $ پس $ q=3 $ وهمچنین از رابطهی وسطی یعنی $ 2q =2k$ داریم $ k=q $ پس

$ n=kp=pq=6$

حال فرض چنین $ q$ ای موجود نباشد لذا داریم $ n= p^{t} $ و برای اینکه $3$مقسوم علیه داشته باشد باید$ t$ از $1$ بزرگتر باشد و برای کوچولو بودن باید داشته باشیم $ n=1+p+p^{2}$ و چون $ p $ طرف چپ را عاد میکند لذا طرف راست را عاد می کند و چون$ p+p^{2} $ را عاد میکند لذا باید $1$ را نیز عاد کند که با اینکه عددی اول است در تناقض است. و حکم ثابت شد.

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط zh
ویرایش شده توسط fardina

جواب میشه گزینه2. این عدد کوچولو رو $ n $ بنامیم و چون $ 1 $ اولین مقسوم علیه کوچک هر عددی است، فرض کنیم $ p, q $ دو کوچکترین مقسوم علیه دیگری هستند که $ n=1+p+q $و $p< q $.

ثابت می کنیم که $p, q $ دو عدد اول هستن. اگر $ \gcd (p, q) \neq 1 $ در این صورت داریم $ \gcd(p, q)=g $. با توجه به اینکه $ g < q$، لذا باید $ n=1+p+g $. اما $ p=rg$ و $ r < p $ و چون $ r | p, p|n $ ، لذا $ n=1+r+g $ که تناقض است، زیرا فرض کردیم که $ p, q $ دو مقسوم علیه کوچک بعد از 1 باشند.

اما حل اصلی مسئله!!!!!

داریم $ n=1+p+q $ ، چون $ p|1+p+q $ و $p | p $ ، لذا $ p | 1+q $ یعنی $ q+1= \alpha p $.

با جایگذاری در معادله اصلی داریم: $ n= \alpha (1+p)$.

اما چون $ q | n $ و $ \gcd (p, q) =1 $، لذا داریم: $ q | \alpha + 1 $
یعنی $ \alpha + 1= \beta q$ .پس $ n = \beta pq $.

لذا $ \beta pq = 1+p+q $ .

در معادله فوق، چنانچه $ \beta = 1 $، آنگاه $ p=2 , q=3 $. که یک جواب معادله است. اما ثابت می کنیم چنانچه $ \beta > 1 $ ، آنگاه معادله جواب ندارد.

فرض که $ \beta > 1$. آنگاه داریم:

$ pq > p + q $ و $ pq > 1 $، لذا $ \beta pq > pq + pq > 1 + p + q=n $ .

بنابراین معادله $\beta pq = 1+p+q $ به ازای $ \beta > 1 $ فاقد جواب است.

و این عدد کوچولو فقط 6 هستش!

دارای دیدگاه توسط erfanm
ممکنه فقط یک عدد اول عدد $n$ رو عاد کنه
دارای دیدگاه توسط zh
ویرایش شده توسط zh
+1
اگه فقط یه عدد اول n رو عاد کنه که دیگه غیر ممکنه کوچولو باشه
یعنی n به صورت توانی از اون عدد اوله n=p^{t}
که در اینضورت کوچکترین مقسوم علیه هاش میشن 1, p,p^{2}
که اگر t=1 یعنی n=pکه در شرط مسئله صدق نمیکنه
اگر همt بزرگتر مساوی 2 باشه در اینصورت حالت اول: t=2
 n=1+p+p^{2
که غیر ممکنه
حالت دوم: t > 2
با توجه به اینکه همواره p^{3} > 1+p+p^{2
(میتوان با مقایسه نمودار x^{3 و نمودار سمت راست(متغیر x) این مطلب را برای اعداد صحیح مثبت،مشاهده کرد).
لذا در چنین حالتی غیر ممکن است که n عددی کوچولو باشد.
البته شما جوابرو در این حالت، مختصرتر بیان کردین.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
65 نفر آنلاین
0 عضو و 65 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4380
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4699420
...