به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
2,847 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط behrooz.f

معکوس تابع $y=x^3+3x-1$ را بدست آورید.

1 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط wahedmohammadi
 
بهترین پاسخ

برای حل $y=x^3+3x-1$ ابتدا $y $ را به طرف دیگر میبریم تا پیدا کردن معکوس برابر پیدا کردن ریشه ی معادله ی $0=x^3+3x-(1+y) $ شود .

برای حل معادلاتی بصورت کلی $ x^3+Ax =B$ قرار میدهیم $A=3st $ و$ B=s^3- t^3 $، جواب چنین معادلاتی برابر $x=s-t $ میشود لذا کافیست $ s$و$t $ را بدست آوریم.

در معادله ی سوال $A=3 $و$B=1+y $. برای حل از معادله ی اول $ s $ را برحسب $ t $ می یابیم و در معادله ی دوم جایگذاری میکنیم. یعنی $s= \frac{1}{t} $ را در معادله$ B=s^3- t^3 $ جایگذاری میکنیم پس داریم: $$1+y=(\frac{1}{t} )^3- t^3 \Rightarrow t^6+(1+y)t^3 -1=0 $$ با تغییر متغییر $ u=t^3 $ معادله ی درجه دوم زیر را داریم که جوابهای آن را از روش دلتا می یابیم. $$u^2 +(1+y)u-1=0 $$ $$t^3=u= \frac{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} }{2} \Rightarrow t= \sqrt[3]{\frac{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} }{2} } $$ $$s= \frac{1}{t}=\sqrt[3]{\frac{2}{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} } }= \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} }} $$ پس جواب بصورت زیر است: $$ x=s-t= \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} }} - \frac{\sqrt[3]{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4}}}{\sqrt[3]{2 }} $$

دارای دیدگاه توسط behrooz.f
+2
ممنون از پی گیریتون.
میشه،  ی منبع برای حل چنین معادلاتی معرفی کنید.
یکم گنگی حس کردم تو جواب
دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
فقط اینکه برای پیدا کردن معکوس توابع درجه $3$ اونها رو به حل معادلات درجه $3$ تبدیل میکنیم و روشهای حل برای این نوع معادلات زیاد است میتونید عبارت$Cubic Formula$ را سرچ کنید.
دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
البته اگر جواب فقط براتون مهمه میتونید به آدرس زیر مراجعه کنید و همانند نمونه ای که بهش دادم معکوس توابع خود را بیابید.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+of+x^3%2B3x-1
دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
اگر هم دوست داشتید بفرمایید کجای مطلب بنظرتون گنگه تا بیشتر توضیح بدم.
دارای دیدگاه توسط
+1
باسلام چرا در روش دلتا از جمع bودلتا استفاده کردید و از تفریق bودلتا استفاده نکردید

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...