چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
49 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط فریبا
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

قضیه: فرض کنیم $ G_{1} $ و $ G_{2} $ دو گراف به ترتیب روی $[m] $ و $[n] $ باشند. در این صورت گزاره‌های زیر معادلند:

1.$ J_{ G_{1} , G_{2} } $ دارای رابطه‌های خطی است.

2.$G_{1} $ و $ G_{2} $ کامل هستند.

مرجع: مقاله سارا سعیدی مدنی (ایده‌آل یالی دوجمله‌ای از جفت گراف‌ها)

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید که

$$ A_{*} : ... \rightarrow A_{i} \rightarrow A_{i-1} \rightarrow A_{i-2} \rightarrow ... $$

و $$ B_{*} : ... \rightarrow B_{j} \rightarrow B_{j-1} \rightarrow B_{j-2} \rightarrow ... $$

دو همبافت باشند. آنگاه $ A_{*} \otimes B_{*} $ خود یک همبافت است و بصورت زیر تعریف می شود.

$ (A_{*} \otimes B_{*} )_{n} = \bigoplus_{i+j=n} A_{i} \otimes B_{j} $

ابتدا فرض کنید $ J_{ G_{1} , G_{2} } $ دارای $ Linear \ resolution $ باشد لذا از آنجایی که مولدهای $ J_{ G_{1} , G_{2} } $ همگن از درجه ی 2 است لذا $2- Linear \ resolution $ داریم یعنی $ \beta _{i,i+2} \neq 0 $ و به ازای هر $ j \neq 2$ داریم $ \beta _{i,i+j} =0$ پس طبق آنچه گفته شد $ \beta _{1,4} =0$ .ثابت میکنیم هم $G_{1} $ و هم $ G_{2} $ همبند هستند.

فرض خلف: فرض کنید $G_{2} $ دارای مولفه های همبندی $H_{1} ,..,H_{c} $ باشد. نشان میدهیم $ Linear \ resolution $ برای $ J_{ G_{1} , G_{2} } $ برابرضرب تنسوری $ Linear \ resolution $ ها برای $ J_{ G_{1} , H_{1} } ,...,J_{ G_{1} , H_{c} } $ است . دقت کنید هر $ J_{ G_{1} , H_{i} } $ یک ایده آل در $ S_{i}=K[ x_{ij} \mid i \in V( G_{1}), j \in V(H_{i})]$

ابتدا $ Linear \ resolution $ ها برای $ \frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } $ و$ \frac{ S_{2} }{J_{ G_{1} , H_{2} } } $ را در نظر میگیریم و ثابت میکنیم ضرب تانسوری این دو برای $\frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } \otimes\frac{ S_{2} }{J_{ G_{1} , H_{2} } } $ یک $ Linear \ resolution $ است سپس ثابت میکنیم $ \frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } \otimes \frac{ S_{2}}{J_{ G_{1} , H_{2} } } \cong \frac{ S^{'} }{ J_{ G_{1} , H^{'} }} $ که در آن $ H^{'} $ گرافی با مولفه های همبندی $ H_{1} $و $H_{2} $ است همچنین $ S_{i}=K[ x_{ij} \mid i \in V( G_{1}), j \in V(H^{'})]$ سپس با استقرا حکم ثابت میشود.

طبق تعریف باید ثابت کنیم همبافت حاصل از ضرب تنسوری دو همبافت دقیق(منظور همان$free \ Linear \ resolution $ است) $ A,B $ برای $ \frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } $ و$ \frac{ S_{2} }{J_{ G_{1} , H_{2} } } $ خود دقیق است.طبق قضیه $Künneth$ دنباله ی دقیق زیر برقرار است: $$0 \rightarrow \bigoplus_{i+j=n} H_{i} (A) \otimes H_{j} (B) \rightarrow H_{n} (A \otimes B) \rightarrow \bigoplus_{i+j=n-1} T_{1} ( H_{i} (A), H_{j} (B)) \rightarrow 0$$ اما از دقیق بودن همبافت های $ A,B $ داریم $ H_{i} (A) =H_{j} (B)=0 $ لذا $H_{n} (A \otimes B)=0$ یعنی همبافت دقیق است.

همچنین اگر$B_{i} ,A_{i} $ آزاد با پایه ها ی$\{ e_{i} \} ,\{ f_{j} \} $ باشند آنگاه $A_{i} \otimes B_{i} $ آزاد با پایه ی $ \{e_{i} \otimes f_{j} \}$ است.

حال قسمت آخر سوال می ماند یعنی اثبات $ \frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } \otimes \frac{ S_{2}}{J_{ G_{1} , H_{2} } } \cong \frac{ S^{'} }{ J_{ G_{1} , H^{'} }} $

برای اثبات از گزاره ی زیر در کتاب $Villareal \ R.H. \ Monomial \ algebras $ استفاده میکنیم.

گزاره ی $2.2.20 $: اگر $ A,B $ روی $ K $با تولید متناهی باشند و$A \cong \frac{K[X]}{ I_{1} } $و $B \cong \frac{K[Y]}{ I_{2} } $آنگاه:

$A \otimes_{K} B \cong \frac{K[X,Y]}{ I_{1}+ I_{2}} $ و بوضوح $ \frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } $ و$ \frac{ S_{2}}{J_{ G_{1} , H_{2} } } $ در شرایط گزاره صدق میکنند لذا حکم برقرار است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
61 نفر آنلاین
0 عضو و 61 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3244
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712385
...