چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
102 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط mina
ویرایش شده توسط erfanm

قضیه :فرض کنیم ‎$ I $‎ یک ایده‌آل همگن از حلقه‌ی ‎$R=K[x_{1},\ldots,x_{n}]$‎ باشد. فرض کنیم ‎${\rm dim}(R/I)=q $‎. حلقه‌ی خارج ‌قسمتی ‎$ R/I $‎ گرنشتاین است اگر و تنها اگر ‎$ {\rm pd}(R/I)=n-q $‎ و ‎$ \beta^{R}_{n-q}{(R/I)}=1 $‎.

لطف می‌کنید این قضیه را با آوردن یک مثال توضیح دهید.

مرجع: کتاب( Graded Syzygies (Irena Peeva قضیه 25.7

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

در حلقه ی $ S=K[ x,y,z]$ ایده آل $I=( x^{2} , y^{2} , xz,yz,z^{2} -xy) $ را در نظر بگیرید. لذا $n=3 $ و$ {\rm dim}(R/I)=q=0 $ و همچنین $ I $ ایده آلی همگن است(درجه ی هر مولد برابر$2$ است).

برای اینکه گرنشتاین بودن$ \frac{S}{I} $ را بررسی کنیم کافیست ببینیم آیا $ {\rm pd}(R/I)=n-q=3-0 $‎ و همچنین $ \beta^{R}_{3}{(R/I)}=1 $‎ است یا نه اگر این دو رابطه برقرار باشد حلقه گرنشتاین است.

اگر $ Resolution $ را برای $ \frac{S}{I} $ بنویسیم داریم:

$$0 \rightarrow S(-4) \rightarrow S(-3)^{5} \rightarrow S(-2)^{5} \rightarrow S \rightarrow 0 $$ چون بعد از $ S $ فقط سه مرحله دیگر رفته ایم لذا $pd( \frac{S}{I} )=3 $ و در مرحله ی سوم($ S(-4)$ ) توان برابر $1$ است لذا $ \beta^{R}_{3}{(R/I)}=1 $‎.

پس این حلقه گرنشتاین است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
45 نفر آنلاین
0 عضو و 45 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 726
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709868
...