به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
104 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط mina
ویرایش شده توسط erfanm

قضیه :فرض کنیم ‎$ I $‎ یک ایده‌آل همگن از حلقه‌ی ‎$R=K[x_{1},\ldots,x_{n}]$‎ باشد. فرض کنیم ‎${\rm dim}(R/I)=q $‎. حلقه‌ی خارج ‌قسمتی ‎$ R/I $‎ گرنشتاین است اگر و تنها اگر ‎$ {\rm pd}(R/I)=n-q $‎ و ‎$ \beta^{R}_{n-q}{(R/I)}=1 $‎.

لطف می‌کنید این قضیه را با آوردن یک مثال توضیح دهید.

مرجع: کتاب( Graded Syzygies (Irena Peeva قضیه 25.7

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

در حلقه ی $ S=K[ x,y,z]$ ایده آل $I=( x^{2} , y^{2} , xz,yz,z^{2} -xy) $ را در نظر بگیرید. لذا $n=3 $ و$ {\rm dim}(R/I)=q=0 $ و همچنین $ I $ ایده آلی همگن است(درجه ی هر مولد برابر$2$ است).

برای اینکه گرنشتاین بودن$ \frac{S}{I} $ را بررسی کنیم کافیست ببینیم آیا $ {\rm pd}(R/I)=n-q=3-0 $‎ و همچنین $ \beta^{R}_{3}{(R/I)}=1 $‎ است یا نه اگر این دو رابطه برقرار باشد حلقه گرنشتاین است.

اگر $ Resolution $ را برای $ \frac{S}{I} $ بنویسیم داریم:

$$0 \rightarrow S(-4) \rightarrow S(-3)^{5} \rightarrow S(-2)^{5} \rightarrow S \rightarrow 0 $$ چون بعد از $ S $ فقط سه مرحله دیگر رفته ایم لذا $pd( \frac{S}{I} )=3 $ و در مرحله ی سوم($ S(-4)$ ) توان برابر $1$ است لذا $ \beta^{R}_{3}{(R/I)}=1 $‎.

پس این حلقه گرنشتاین است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
55 نفر آنلاین
0 عضو و 55 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3506
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5009158
...