به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
138 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

وزارت راه و ترابری آزادراهی به طول $ 2^{19} =524288 $ متر بین زاهدان و مشهد احداث کرده است و قصد دارد در یک پروژه ی بلند مدت این آزاد راه را مجهز به چراغهای روشنایی کند. در هر روز از بین بزرگ ترین قطعه هایی از آزادراه که هیچ چراغی در آن نیست، نزدیک ترین قطعه به زاهدان انتخاب شده و در نقطه ی وسط آن یک چراغ نصب می شود. هزارویکمین چراغی که نصب میشود چند متر با مشهدفاصله دارد؟

دارای دیدگاه توسط zh
+1
با کجا فاصله داشته باشه؟؟؟؟
دارای دیدگاه توسط fardina
من این جمله رو متوجه نمیشم: "در هر روز از بین بزرگ ترین قطعه هایی از آزادراه که هیچ چراغی در آن نیست، نزدیک ترین قطعه به زاهدان انتخاب شده و در نقطه ی وسط آن یک چراغ نصب می شود."
دارای دیدگاه توسط erfanm
در اولین مرحله فقط یک قطعه داریم پس در وسطش یه چراغ نصب می کنیم. در مرحله ی دوم دو قطعه داریم (کل جاده که بوسیله چراغ به دو قسمت مساوی تقسیم شده) در بین این قطعه ها دنبال بزرگترین می گردیم اگر چند قطعه با هم بزرگترین بودند اونی رو انتخاب میکنیم که به زاهدان نزدیک تره

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط admin
 
بهترین پاسخ

برای نصب اولین چراغ فقط یک قطعه جاده داریم لذا چراغ را در وسط نصب می کنیم و جاده به دو قسمت تقسیم میشود حال چون طول هر دو قطعه با هم برابر است لذا قطعه نزدیک به زاهدان انتخاب می شود و برای مرحله بعد درسته دو قطعه نزدیک به زاهدان داریم اما قطعه دورتر یعنی طرف مشهد بزرگتر است شرط اول بزرگ بودنه و درصورت تساوی طول قطعه ها نزدیکی به زاهدان ملاک قرار می گیرد. فاصله ی چراغ $ n$ ام تا زاهدان را با $ a_{n} $ نمایش میدهیم لذا هدف سوال بدست آوردن $ 2^{19}- a_{1001} $ است.

enter image description here

با کمی دقت در نحوه قرار گرفتن $ a_{n} $ها میبینیم نزدیک زاهدان$ a_{ 2^{i} } $ شروع میشود و تا ا$ a_{ 2^{i+1} } -1$ ادامه می یابد و دوباره نزدیک زاهدان $ a_{ 2^{i+1} } $ شروع می شود و هربار به نسبت $ \frac{1}{2} $ طول قطعه ها کم میشود. لذا فرمول کلی اگر $ n= 2^{k} +t$برابر است با $$ a_{2^{k} +t} = \frac{2^{19}}{2^{k+1}} \times (2t+1)$$ لذا جواب برابر است با

$$\begin{align} 2^{19}- \frac{2^{19}}{2^{10}} \times (2 \times 489+1)& = 2^{9}(2^{10}-979)=2^{9} \times 45\\ &=512 \times 45=23040 \end{align}$$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
33 نفر آنلاین
0 عضو و 33 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 728
بازدید دیروز: 6156
بازدید کل: 5031117
...