چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
115 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fariba hakimi
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

قضیه 2.2 از مقاله ارجاع داده شده.

قضیه: فرض کنیم ‎$ G $‎ یک گراف روی ‎$ [n] $‎ رأس باشد. در این صورت داریم:

3. اگر ‎$ G $‎ بسته باشد، آن‌گاه برای هر ‎$2i< j $‎، ‎$ \beta_{i-1,j}(J_{G})=0 $‎. به ‌ویژه، برای هر ‎$ j\neq 3,4 $‎،

‎$\beta_{1,j}(J_{G})=0 $‎.

در اثبات این قضیه در قسمت به ویژه چرا برای هر $ j\neq 3,4 $‎، $\beta_{1,j}(J_{G})=0 $

مرجع: ‎S‎. ‎Saeedi Madani and D‎. ‎Kiani. Binomial edge ideals of graphs‎. ‎The Electronic Journal of Combinatorics‎. ‎19(2)‎, ‎P44‎, 2012) ‎.
دارای دیدگاه توسط erfanm
در اثبات قسمت سوم مشکل دارید یا اینکه چرا برای $ j\neq 3,4 $ داریم $\beta_{1,j}(J_{G})=0 $‎

این دومی واضحه چون طبق قسمت سه برای $ j> 2i=2 $ داریم $\beta_{1,j}(J_{G})=0 $‎
همچنین چون درجه ی مولد ها برابر دو است لذا مینیمم مقدار $ j $  که در رزولوشن داریم برابر $ 3 $ است پس برای $ j<3 $ هم باز $\beta_{1,j}(J_{G})=0 $‎
دارای دیدگاه توسط fariba hakimi
+1
اشکال  من در این قسمت که چرا اگر ‎$ G $ یک گراف بسته باشد برای هر ‎$ j\neq 3,4 $‎،
‎$\beta_{1,j}(J_{G})=0 $‎.
ممنون.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

اگر قضیه رو به دقت نگاه کنیم می بینیم هر گراف دلخواه( حتی اگر بسته هم باشد) اگر دارای دوری به طول $3$ باشد آنگاه $ \beta _{1,3} \neq 0$ و اگر همبند باشد و لی کامل نباشد آنگاه $ \beta _{1,4} \neq 0 $ است.

منظور قسمت $3$ باید این باشد که اگر گرافی بسته و در هیچ یک از دوشرط بالا صدق نکند آنگاه$\beta _{i,j} =0$ برای $j>2i$ چون در غیر اینصورت طبق الف در گرافی که دور به طول $3$ دارد$ \beta _{1,3} \neq 0$ و طبق $3$ باید برای $j>2i=2 \times 1=2$ از جمله $j=3$ داریم $ \beta _{1,3} =0$ که تناقض است.

پس اگر گراف را بسته و در حالت کلی در نظر بگیریم شاید $ \beta _{1,3} \neq 0$ شاید هم $ \beta _{1,3} = 0$ و برای $ \beta _{1,4}$ هم همینطور است ولی برای $j\neq 3,4$ براحتی ثابت می شود که $\beta _{1,j}=0$ است.

اولا طبق $3$ برای هر گراف بسته اگر $j>4$ آنگاه $\beta _{1,j}=0$ از طرف دیگر در نوشتن رزولوشن در مرحله ی صفرم درجه ی هر $ e_{ij} $ برابر دو است و برای مرحله ی بعد ($i=1 $) باید رابطه های خطی بین $ e_{ij} $ را بدست آوریم که چون در عناصری از درجه ی حداقل $1$ ضرب می شوند لذا در این مرحله حداقل $j$ موجود برابر $3$ است.

دارای دیدگاه توسط kani1313
سلام ممکنه این قضیه رو کامل اثبات کنین؟ ممنون
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
61 نفر آنلاین
0 عضو و 61 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3268
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712409
...