به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
131 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fariba hakimi
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

قضیه 2.2 از مقاله ارجاع داده شده.

قضیه: فرض کنیم ‎$ G $‎ یک گراف روی ‎$ [n] $‎ رأس باشد. در این صورت داریم:

3. اگر ‎$ G $‎ بسته باشد، آن‌گاه برای هر ‎$2i< j $‎، ‎$ \beta_{i-1,j}(J_{G})=0 $‎. به ‌ویژه، برای هر ‎$ j\neq 3,4 $‎،

‎$\beta_{1,j}(J_{G})=0 $‎.

در اثبات این قضیه در قسمت به ویژه چرا برای هر $ j\neq 3,4 $‎، $\beta_{1,j}(J_{G})=0 $

مرجع: ‎S‎. ‎Saeedi Madani and D‎. ‎Kiani. Binomial edge ideals of graphs‎. ‎The Electronic Journal of Combinatorics‎. ‎19(2)‎, ‎P44‎, 2012) ‎.
دارای دیدگاه توسط erfanm
در اثبات قسمت سوم مشکل دارید یا اینکه چرا برای $ j\neq 3,4 $ داریم $\beta_{1,j}(J_{G})=0 $‎

این دومی واضحه چون طبق قسمت سه برای $ j> 2i=2 $ داریم $\beta_{1,j}(J_{G})=0 $‎
همچنین چون درجه ی مولد ها برابر دو است لذا مینیمم مقدار $ j $  که در رزولوشن داریم برابر $ 3 $ است پس برای $ j<3 $ هم باز $\beta_{1,j}(J_{G})=0 $‎
دارای دیدگاه توسط fariba hakimi
+1
اشکال  من در این قسمت که چرا اگر ‎$ G $ یک گراف بسته باشد برای هر ‎$ j\neq 3,4 $‎،
‎$\beta_{1,j}(J_{G})=0 $‎.
ممنون.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

اگر قضیه رو به دقت نگاه کنیم می بینیم هر گراف دلخواه( حتی اگر بسته هم باشد) اگر دارای دوری به طول $3$ باشد آنگاه $ \beta _{1,3} \neq 0$ و اگر همبند باشد و لی کامل نباشد آنگاه $ \beta _{1,4} \neq 0 $ است.

منظور قسمت $3$ باید این باشد که اگر گرافی بسته و در هیچ یک از دوشرط بالا صدق نکند آنگاه$\beta _{i,j} =0$ برای $j>2i$ چون در غیر اینصورت طبق الف در گرافی که دور به طول $3$ دارد$ \beta _{1,3} \neq 0$ و طبق $3$ باید برای $j>2i=2 \times 1=2$ از جمله $j=3$ داریم $ \beta _{1,3} =0$ که تناقض است.

پس اگر گراف را بسته و در حالت کلی در نظر بگیریم شاید $ \beta _{1,3} \neq 0$ شاید هم $ \beta _{1,3} = 0$ و برای $ \beta _{1,4}$ هم همینطور است ولی برای $j\neq 3,4$ براحتی ثابت می شود که $\beta _{1,j}=0$ است.

اولا طبق $3$ برای هر گراف بسته اگر $j>4$ آنگاه $\beta _{1,j}=0$ از طرف دیگر در نوشتن رزولوشن در مرحله ی صفرم درجه ی هر $ e_{ij} $ برابر دو است و برای مرحله ی بعد ($i=1 $) باید رابطه های خطی بین $ e_{ij} $ را بدست آوریم که چون در عناصری از درجه ی حداقل $1$ ضرب می شوند لذا در این مرحله حداقل $j$ موجود برابر $3$ است.

دارای دیدگاه توسط kani1313
سلام ممکنه این قضیه رو کامل اثبات کنین؟ ممنون

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...