چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
65 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina

چند زوج مرتب $ (p,q) $ از اعداد اول موجودند که برای آنها داشته باشیم: $$ p^{2}-pq+ q^{2}= 37^{2}$$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط admin
 
بهترین پاسخ

اگر $ p=q$ باشد لذا با حل معادله جواب $ p=q=37$ بدست می آید بدون کاستن از کلیت(متقارن بودن فرمول) می توانیم فرض کنیم که $ p > q$ لذا از رابطه ی زیر داریم که$ p > 37$و $ 37 > q$ است

$$q^{2} = p^{2}-p^{2}+ q^{2} < p^{2}-pq+ q^{2}= 37^{2} < p^{2}-q^{2}+ q^{2}=p^{2}$$ یا $$q^{2} < 37^{2} < p^{2} \Rightarrow q < 37 < p$$

$ \\ $ $ \\ $ $ \\ $

با بردن $q^{2} $ به طرف دوم رابطه ی داده شده در سوال و تجزیه طرفین داریم:

$$p(p-q)= p^{2}-pq = 37^{2} -q^{2} =(37-q)(37+q)$$ وچون $p $ عددی اول است لذا یکی از فاکتورهای $(37-q)(37+q) $ را باید عاد کند و چون از 37 بزرگتر است لذا باید فاکتور $ (37+q)$ را عاد کند و طبق رابطه ی زیر باید $ p=37+q $ که امکان پذیر نیست لذا این مساله فقط یک جواب دارد

$$37+q < 37+37=2 \times 37 < 2p $$ $ \\ $ $ \\ $ $ \\ $

دلیل امکان ناپذیر بودن رابطه ی $ p=37+q $

اگر $ q $ عدد اول فردی باشد لذا $ 37+q $ عددی زوج می شود که عدد اول نیست لذا تنها انتخاب $q=2 $ است که $p=39 $ بدست می آید اما $39$ اول نیست

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
68 نفر آنلاین
0 عضو و 68 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4367
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4699407
...