به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
65 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina

چند زوج مرتب $ (p,q) $ از اعداد اول موجودند که برای آنها داشته باشیم: $$ p^{2}-pq+ q^{2}= 37^{2}$$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط admin
 
بهترین پاسخ

اگر $ p=q$ باشد لذا با حل معادله جواب $ p=q=37$ بدست می آید بدون کاستن از کلیت(متقارن بودن فرمول) می توانیم فرض کنیم که $ p > q$ لذا از رابطه ی زیر داریم که$ p > 37$و $ 37 > q$ است

$$q^{2} = p^{2}-p^{2}+ q^{2} < p^{2}-pq+ q^{2}= 37^{2} < p^{2}-q^{2}+ q^{2}=p^{2}$$ یا $$q^{2} < 37^{2} < p^{2} \Rightarrow q < 37 < p$$

$ \\ $ $ \\ $ $ \\ $

با بردن $q^{2} $ به طرف دوم رابطه ی داده شده در سوال و تجزیه طرفین داریم:

$$p(p-q)= p^{2}-pq = 37^{2} -q^{2} =(37-q)(37+q)$$ وچون $p $ عددی اول است لذا یکی از فاکتورهای $(37-q)(37+q) $ را باید عاد کند و چون از 37 بزرگتر است لذا باید فاکتور $ (37+q)$ را عاد کند و طبق رابطه ی زیر باید $ p=37+q $ که امکان پذیر نیست لذا این مساله فقط یک جواب دارد

$$37+q < 37+37=2 \times 37 < 2p $$ $ \\ $ $ \\ $ $ \\ $

دلیل امکان ناپذیر بودن رابطه ی $ p=37+q $

اگر $ q $ عدد اول فردی باشد لذا $ 37+q $ عددی زوج می شود که عدد اول نیست لذا تنها انتخاب $q=2 $ است که $p=39 $ بدست می آید اما $39$ اول نیست

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
33 نفر آنلاین
0 عضو و 33 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 732
بازدید دیروز: 6156
بازدید کل: 5031121
...