به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
209 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

مثالی از قلمرو صحیحی مثل $D$ بیابید که از مرتبه نامتناهی باشد ولی مشخص آن متناهی باشد.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

اگر $ K $ یک میدان باشد آنگاه حلقه ی $ K[x]$ یک قلمرو صحیح است که مشخصه ی آن برابر مشخصه ی میدان $K $ است.

حال میدان $\mathbb Z _{p} $ را درنظر میگیریم لذا حلقه ی $ \mathbb Z _{p}[x]$ جواب سوال است. چون دارای نامتناهی عضو زیر است:

$$1, x, x^{2} , x^{3} ,... \in \mathbb Z _{p}[x]$$

برای اثبات قلمرو صحیح بودن دو عنصر ناصفر را در نظر میگیریم و ثابت میکنیم ضرب آنها نیز ناصفر است.

فرض کنید $f \in \mathbb Z _{p}[x] $ ناصفر و بیشترین توانی از $ x $ که ضریب آن ناصفر است برابر $ n$ باشد یعنی

(جملات با درجه ی کمتر$f=a x^{n} +( $ که $ 0 \neq a \in \mathbb Z _{p}$و بطور مشابه برای عنصر ناصفر دیگر داریم

(جملات با درجه ی کمتر$g=b x^{m} +( $ که $0 \neq b \in \mathbb Z _{p}$

(جملات با درجه ی کمتر$fg=ab x^{n+m} +( $

و چون $\mathbb Z _{p} $ یک میدان است لذا $ ab \neq 0$ پس $ fg \neq 0 $

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
54 نفر آنلاین
0 عضو و 54 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3514
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5009166
...