چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
206 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

مثالی از قلمرو صحیحی مثل $D$ بیابید که از مرتبه نامتناهی باشد ولی مشخص آن متناهی باشد.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

اگر $ K $ یک میدان باشد آنگاه حلقه ی $ K[x]$ یک قلمرو صحیح است که مشخصه ی آن برابر مشخصه ی میدان $K $ است.

حال میدان $\mathbb Z _{p} $ را درنظر میگیریم لذا حلقه ی $ \mathbb Z _{p}[x]$ جواب سوال است. چون دارای نامتناهی عضو زیر است:

$$1, x, x^{2} , x^{3} ,... \in \mathbb Z _{p}[x]$$

برای اثبات قلمرو صحیح بودن دو عنصر ناصفر را در نظر میگیریم و ثابت میکنیم ضرب آنها نیز ناصفر است.

فرض کنید $f \in \mathbb Z _{p}[x] $ ناصفر و بیشترین توانی از $ x $ که ضریب آن ناصفر است برابر $ n$ باشد یعنی

(جملات با درجه ی کمتر$f=a x^{n} +( $ که $ 0 \neq a \in \mathbb Z _{p}$و بطور مشابه برای عنصر ناصفر دیگر داریم

(جملات با درجه ی کمتر$g=b x^{m} +( $ که $0 \neq b \in \mathbb Z _{p}$

(جملات با درجه ی کمتر$fg=ab x^{n+m} +( $

و چون $\mathbb Z _{p} $ یک میدان است لذا $ ab \neq 0$ پس $ fg \neq 0 $

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
57 نفر آنلاین
0 عضو و 57 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3334
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712475
...