چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
4,226 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط بی نام
برچسب گذاری دوباره توسط رها

با سلام /ممنون میشم با مثالی از رسم نمودار توابع به کمک جدول تغییرات مراحل رسم تابع را توضیح بدید منظورم این است تمام مراحل را تشکیل می دهم ولی از روی جدول تغییرات تابع نمیتوانم چه طور اطلاعات را در صفحه مختصات پیاده کنم وشکل را رسم کنم.با تشکر

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط رها

از آنجا که سوال شما در مورد کتاب حساب دیفراننسیل انتگرال پیش دانشگاهی است خوب است که به کتاب حساب دیفرانسیل بخش رسم توابع رجوع کنید در آنجا چندین مثال به خوبی توضیح داده شده است.

از جمله موارد مهمی که برای رسم توابع می توانیم از آنها کمک بگیریم عبارت اند از:

  1. دامنه تابع
  2. تقارن و یا متناوب بودن: زوج و فرد بودن
  3. نقاط برخورد با محورهای مختصات
  4. مجانب های قائم، افقی و مایل در صورت وجود
  5. صعودی نزولی بودن تابع و نقاط اکسترمم نسبی و مطلق: می توانیم از مشتق برای این مطلب کمک بگیریم
  6. تقعرو نقاط عطف تابع : می توانیم از مشتق مرتبه دوم استفاده کنیم
  7. تنظیم جدول تغییرات

به عنوان مثال برای رسم تابع $f(x)=x^4-8x^2+7$ به صورت زیر عمل میکنیم:

دامنه تابع برابر کل اعداد حقیقی است چون تابع چندجمله ای است: $D_f=\mathbb R$

این تابع زوج است (چرا؟) لذا کافی است آن را فقط برای $x\geq 0$ رسم کنیم و با استفاده از تقارن برای $x< 0$ آن را رسم کنیم.

با قرار دادن $x=0$ میتوانید محل برخورد با محور $y$ ها را بیابید: $$x=0\Rightarrow f(x)=7$$ لذا $(0,7)$ یک نقطه از نمودار است.

همچنین با قرار دادن $y=0$ می توان نقاط برخورد با محور $x$ها را بیابید: $$x^4-8x^2+7=0\Rightarrow (x^2-1)(x^2-7)=0\Rightarrow \begin{cases}x=\pm 1\\ x=\pm \sqrt 7\end{cases}$$

پس $(\pm 1,0),(\pm\sqrt7,0)$ روی نمودار تابع قرار دارند.

این تابع هیچ مجانبی ندارد (چرا؟)

با مشتق گیری داریم: $f'(x)=4x^3-16x=0\Rightarrow \begin{cases}x=0\\x=\pm 2\end{cases}$

و از مشتق دوم داریم:

$f''(x)=12x^2-16=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac43}=\pm \frac{2}{\sqrt 3}=\pm \frac{2\sqrt3}{3}$

می توانیم جدول تغییرات را برای $f'$ و $f''$ در یک جدول و یا جداگانه برای هر کدام تنظیم کنیم:

$$ \begin{array}{c|lccccccr} x& -\infty& & -2& & 0& &2& &+\infty\\ \hline f'(x)& &-&0&+&0 & - &0 &+ \\ \hline f(x)& +\infty& \searrow &-9 & \nearrow & 7& \searrow &-9 & \nearrow&+\infty \\ \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|lcccr} x& -\infty& & -\frac{2\sqrt3}{3}& &\frac{2\sqrt3}{3}& &+\infty\\ \hline f''(x)& & +& 0&- & 0& +\\ \hline f(x)&+\infty & \smile &-\frac{-17}{9} & \frown &-\frac{17}9 & \smile &+\infty \end{array} $$

با توجه به جدول تغییرات میفهمیم که تابع در بازه $(-\infty, -2]$ اکیدا نزولی است. در $[-2,0]$ اکیدا صعودی در $[0,2]$ اکیدا نزولی و در $[2,+\infty)$ اکیدا صعودی است. پس کافی است بعد از مشخص کردن نقاط $(-2,-9),(0,7),(2,-9)$ روی نمودار سعی کنید که با توجه به صعودی نزولی بودن تابع در بازه های گفته شده تابعی رسم کنید که شرایط گفته شده را برقرار کند. همچنین چون در جدول تغییرات تابع در سمت چپ و راست نقطه های $-2,2$ تابع به صورت $ \searrow \nearrow $ پس این نقطه یک نقطه ی مینیمم نسبی است و چون در نقطه ی $0$ به صورت $ \nearrow \searrow $ لذا صفر یک نقطه ی ماکسیمم نسبی است. در حین رسم باید به این نکته ی مهم توجه بکنید که جهت تقعر تابع در $(-\infty, -\frac{2\sqrt3}3)$ رو به بالا و در $(-\frac{2\sqrt3}{3},\frac{2\sqrt3}{3})$ رو به پایین و در $(\frac{2\sqrt3}{3},+\infty)$ رو به بالا است.

خلاصه شما با توجه به جدول تغییرات نمودار نقاط پیدا شده را به همدیگر وصل میکنید به طوریکه با نگاه کردن به نمودار تابع بتوان جدول تغییرات تابع را حدس زد. و بعد از تمرین کردن و حل چند مساله اگر واقعا بتوانید تمام موارد گفته شده را بیابید رسم نمودار آن خیلی دشوار نخواهد بود!

می توانید در اینجا نمودار تابع بالا را ببینید:

enter image description here

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
52 نفر آنلاین
0 عضو و 52 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3530
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687338
...