به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
407 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط behruz
ویرایش شده توسط wahedmohammadi

با استفاده از خواص ضرب داخلی نشان دهید:

$| ( x,y ) | \leq \parallel x \parallel _2 \parallel y \parallel _2$

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط wahedmohammadi
ویرایش شده توسط wahedmohammadi

یادآوری می‌کنیم که$ ( x,x) =( \parallel x \parallel _2 )^2 $ و همچنین برای هر $y$ داریم که $ ( y,y ) \geqslant 0 $ پس به ازای هر $a \in \mathbb C$ داریم

$ (x-ay,x-ay ) \geqslant 0 \qquad \qquad \qquad \qquad (*)$

در سوال بالا اگر $y=0$ باشد حالت تساوی برقرار است و حکم ثابت است. حال فرض کنیم $y \neq 0$ ، تعریف می‌کنیم $a=\frac{(x,y)}{(y,y)}$ و با جایگذاری در $(*)$ وساده کردن داریم:

$0 \leqslant (x-ay,x-ay) = (x,x ) - a(x,y) - \overline{a} (x,y) +a^2(y,y) \quad \quad \qquad $

$=( \parallel x \parallel _2 )^2 - \frac{|(x,y)|^2}{(y,y)} - \frac{|(x,y)|^2}{(y,y)} + \frac{|(x,y)|^2}{|(y,y) |^2} (y,y) $

پس از ساده کردن به نامعادله زیر می‌رسیم

$0 \ \leqslant (x,x ) - \frac{|(x,y)|^2}{(y,y)} \Rightarrow |(x,y)|^2 \leqslant (x,x )(y,y) \qquad \qquad \qquad $

$\Rightarrow |(x,y)|^2 \leqslant ( \parallel x \parallel _2 )^2( \parallel y \parallel _2 )^2 \qquad \ \ \ \ $

با جذر گرفتن از طرفین به جواب مسئله می‌رسیم

$|(x,y)| \leqslant \parallel x \parallel _2 \parallel y \parallel _2 $

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

(با استفاده از کتاب بارتل)فرض کنیم $V$ یک فضای ضرب داخلی باشد. در اینصورت با قرار دادن $z=ax-by, a,b\in\mathbb R$ داریم $$0\leq z.z=a^2x.x-2abx.y+b^2y.y$$ با قرار دادن $a=\|y\|, b=\|x\|$ داریم: $$\begin{align}0\leq& \|y\|^2\|x\|^2-2\|y\|\|x\|x.y+\|x\|^2\|y\|^2\\ &=2\|x\|\|y\|(\|x\|\|y\|-x.y)\end{align}$$

و چون $\|.\|\geq 0$ بنابر این از نامساوی بالا داریم $\|x\|\|y\|-x.y\geq 0$ و لذا نتیجه حاصل می شود.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...