چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
1,089 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط saderi7
ویرایش شده توسط fardina

اثبات رابطه ي آيزنشتاين در مورد جزء صحيح رو ميخواستم؟؟

$$[nx]=[x]+[x+\frac1n]+[x+\frac 2n]+...+[x+\frac{n-1}n]$$
مرجع: رابطه ي آيزنشتاين

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

همواره داریم $[x]\leq x< [x]+1$

بنابر این حالت داریم یا $[x]\leq x< [x]+\frac1n$ یا $[x]+\frac1n \leq [x]< [x]+\frac2n$ یا ... یا $[x]+\frac{n-1}n\leq x< [x]+1$

  • اگر $[x]\leq x< [x]+\frac1n$ برقرار باشد:

    • داریم $n[x] \leq nx< n[x]+1 $ و بنابر این $[nx]=n[x]\tag{*}$

    • داریم $[x]+\frac1n\leq x+\frac1n< [x]+\frac1n+\frac1n=[x]+\frac2n $ لذا در این حالت داریم $[x+\frac1n]=[x]$

    • داریم $[x]+\frac 2n\leq x+\frac2n< [x]+\frac 3n$ که از این هم نتیجه می شود $[x+\frac 2n]=[x]$. با ادامه همین حالت ها می رسیم به

    • داریم $[x]+\frac{n-1}n\leq x+\frac{n-1}n< [x]+1$ بنابر این $[x+\frac{n-1}n]=[x]$

اگر همه ی موارد بالا را جمع کنیم داریم $ [x]+\underbrace{[x+\frac1n]+[x+\frac 2n]+...+[x+\frac{n-1}n]}_{(n-1)\ times} =n[x]$ و از طرفی بنابر $*$ داشتیم $[nx]=n[x]$ لذا در این حالت ثابت شد $$[nx]=[x]+[x+\frac1n]+[x+\frac 2n]+...+[x+\frac{n-1}n]$$

به طور مشابه برای حالت های $[x]+\frac1n \leq [x]< [x]+\frac2n$ و ... و $[x]+\frac{n-1}n\leq x< [x]+1$ می توانید ثابت کنید.

دارای دیدگاه توسط مهران
+1
چه جوری براکت ایکس به علاوه یک تقسیم بر n شد برابر براکت ایکس؟
دارای دیدگاه توسط sahar3
+1
@fardina
ممنون ميشم بگيد كه چرا از اين رابطه$[x] \leq x < [x]+ 1 $
 اين رو نتيجه گرفتيد.
$$[x] \leq x < [x]+ \frac{1}{n} $$
يا
$$[x]+ \frac{1}{n}  \leq x < [x]+ \frac{2}{n} $$
يا
.
.
.
$$[x]+ \frac{n-1}{n}  \leq x < [x]+ 1 $$
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
مثلا بازه ی $[0,1)$ را می توان به صورت $[0,\frac 12)\cup [\frac 1n,\frac 2n)\cup...\cup [\frac{n-1}n,1)$ نوشت. پس اگر $x$ به بازه $[0,1)$ متعلق باشد آنگاه باید به یکی از این اجتماع ها متعلق باشد.
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

enter image description here

و در آخر باید ذکر کنم این اثبات توسط خود من صورت نگرفته است . و متاسفانه هم منبع اثبات رو نمیدونم.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
63 نفر آنلاین
0 عضو و 63 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3648
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687456
...