به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
95 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

اثبات اين نابرابری و اينكه ايا $x$ بايد در محدوده ي خاصي قرار گرفته باشد كه نابرابری درست باشد يا خیر ؟

$$|\sin x|\leq |x|\leq |\tan x|$$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

به شکل زیر نگاه کنید:

enter image description here

همانطور که می دانید $BH=\sin x$ و $AT=\tan x$. حال اگر مساحت های مثلث $OBH$ و قطاع $OBH$ و مثلث $OTA$ را مقایسه کنید داریم: $\frac 12\sin x\leq \frac12 x\leq \frac 12\tan x$ و لذا $\sin x\leq x\leq \tan x$ برای $0< x< \frac\pi2$. و همچنین برای $-\frac\pi2< x< 0$ نیز این نامساوی برقرار است.

می توان نشان داد برای هر $x$ نامساوی $|\sin x|\leq |x|$برقرار است. زیرا برای $x=0$ به وضوح تساوی برقرار است و برای $0< |x|< \frac\pi2$ بنابر آنچه در بالا آمد برقرار است و برای $|x|>\frac\pi2>1\geq |\sin x|$.

برای اینکه ببینیم $|x|\leq |\tan x|$ در کجا برقرار است می توانیم از نمودارهای $|\tan x|$ به رنگ سیاه و $|x|$ رنگ آبی استفاده کنیم: fooplot

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
مطالب فوق در کتاب حسابان دبیرستان موجود است.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
46 نفر آنلاین
0 عضو و 46 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 321
بازدید دیروز: 6583
بازدید کل: 5012556
...