چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
93 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

اثبات اين نابرابری و اينكه ايا $x$ بايد در محدوده ي خاصي قرار گرفته باشد كه نابرابری درست باشد يا خیر ؟

$$|\sin x|\leq |x|\leq |\tan x|$$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

به شکل زیر نگاه کنید:

enter image description here

همانطور که می دانید $BH=\sin x$ و $AT=\tan x$. حال اگر مساحت های مثلث $OBH$ و قطاع $OBH$ و مثلث $OTA$ را مقایسه کنید داریم: $\frac 12\sin x\leq \frac12 x\leq \frac 12\tan x$ و لذا $\sin x\leq x\leq \tan x$ برای $0< x< \frac\pi2$. و همچنین برای $-\frac\pi2< x< 0$ نیز این نامساوی برقرار است.

می توان نشان داد برای هر $x$ نامساوی $|\sin x|\leq |x|$برقرار است. زیرا برای $x=0$ به وضوح تساوی برقرار است و برای $0< |x|< \frac\pi2$ بنابر آنچه در بالا آمد برقرار است و برای $|x|>\frac\pi2>1\geq |\sin x|$.

برای اینکه ببینیم $|x|\leq |\tan x|$ در کجا برقرار است می توانیم از نمودارهای $|\tan x|$ به رنگ سیاه و $|x|$ رنگ آبی استفاده کنیم: fooplot

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
مطالب فوق در کتاب حسابان دبیرستان موجود است.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
58 نفر آنلاین
0 عضو و 58 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3619
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687427
...