چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+5 امتیاز
90 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط saderi7

چند مثلث وجود دارد كه محيط ان 50 وطول اضلاع اعداد صحيح باشند؟؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط erfanm
 
بهترین پاسخ

فرض $x,y,z\in\mathbb Z$ اضلاع مثلث باشند و $x+y+z=50$ . می دانیم که در هر مثلث باید $$ x+y\geq z\\ x+z\geq y\\ y+z\geq x $$ در اینصورت از $x+y\geq z$ داریم $50=x+y+z\geq z+z=2z$ بنابراین $z\leq 25$ و به طور مشابه داریم $x,y\leq 25$.

در اینصورت با اعمال محدودیت های فوق یعنی $x,y,z\in\mathbb Z, x+y+z=50, 1\leq x,y,z\leq 25$ می توان مثلث های زیر را یافت:

نکته: تعداد جواب های صحیح و نامنفی$x_i\geq 0$ معادله $x_1+x_2+...+x_k=n$ برابر است با ${n+k-1\choose k-1}$ و جواب های صحیح مثبت$x_i\geq 1$ برابر ${n-1\choose k-1}$ است.

اما در مساله ی ما یک شرط اضافی $1\leq x,y,z\leq 25$ هم داریم.

فرض کنید $A_1$ برابر جواب هایی باشد که $x\geq 26$ و $A_2$ جواب هایی که $y\geq 26$ و $A_3$ جواب هایی که $z\geq 26$. ما دنبال پیدا کردن $|\overline{A_1}|\cap |\overline{A_2}|\cap |\overline{A_3}|=|\overline{A_1\cup A_2\cup A_3}|$ هستیم . اگر $S$ برابر جواب های صحیح و نامنفی معادله ی $x+y+z=50$ باشد در اینصورت داریم:

$$|\overline{A_1\cup A_2\cup A_3}|=|S|-(|A_1|+|A_2|+|A_3|-|A_1\cap A_2|-|A_1\cap A_3|-|A_2\cap A_3|+|A_1\cap A_2\cap A_3|) $$

محاسبه $|S|$:برابر است با جواب های صحیح مثبت $x+y+z=50,x,y,z\geq 1$

که بنابر نکته فوق برابر است با ${50-1\choose 3-1}={49\choose 2}$

محاسبه ی $|A_1|$ : برابر است با تعداد جواب های معادله ی

$$x+y+z=50, x\geq 26, y\geq 1, z\geq 1\\ (x-25)+y+z=25 ,(x-25)\geq 1, y\geq 1,z\geq 1$$

که بنابر نکته ی بالا برابر است با: ${25-1\choose 3-1}={24\choose 2}$

و به طور مشابه برای $|A_2|=|A_3|={24\choose 2}$

محاسبه $|A_1\cap A_2|$:

$$x+y+z=50, x\geq 26, y\geq 26, z\geq 1\\ (x-25)+(y-25)+z=0, (x-25)\geq 1, (y-25)\geq 1, z\geq 1$$ اما این مساله جواب غیر منفی ندارد. و به طور مشابه $|A_1\cap A_3|, |A_2\cap A_3|, |A_1\cap A_2\cap A_3|$ برابر صفر هستند. پس جواب سوال برابر است با $$|\overline{A_1\cup A_2\cup A_3}|={49\choose 2}-({24\choose 2}+{24\choose 2}+{24\choose 2}-0-0-0+0)\\ =1176-3\times 276=1176-828=348$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 344
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709486
...