به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+5 امتیاز
152 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\sin( \frac{1}{n}) }{n+1}+ \frac{\sin( \frac{2}{n} )}{n+ \frac{1}{2} }+...+ \frac{\sin( \frac{n}{n}) }{n+ \frac{1}{n} }=?$$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط saderi7
 
بهترین پاسخ

اگر قرار دهیم $$A_n=\sum_{i=1}^n\frac{\sin\frac in}{n+\frac 1i}$$

و $$B_n=\sum_{i=1}^n\frac{\sin\frac in}{n}$$

در اینصورت بنابر تعریف انتگرال ریمان واضح است که $$\lim_{n\to\infty}B_n=\int_0^1\sin xdx=1-\cos 1$$

اما از طرفی داریم: $$0\leq B_n-A_n=\sum_{i=1}^n\frac{\sin \frac in}{n}\frac{1}{1+ni}\leq \frac{B_n}{n}$$

اما چون $B_n$ همگراست پس $\frac{B_n}{n}\to 0$ لذا $\lim_{n\to \infty}B_n-A_n=0$ بنابراین $$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n\frac{\sin\frac in}{n+\frac 1i}=\int_0^1\sin xdx=1-\cos 1$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
38 نفر آنلاین
0 عضو و 38 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1563
بازدید دیروز: 6343
بازدید کل: 5025797
...