چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+5 امتیاز
148 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\sin( \frac{1}{n}) }{n+1}+ \frac{\sin( \frac{2}{n} )}{n+ \frac{1}{2} }+...+ \frac{\sin( \frac{n}{n}) }{n+ \frac{1}{n} }=?$$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط saderi7
 
بهترین پاسخ

اگر قرار دهیم $$A_n=\sum_{i=1}^n\frac{\sin\frac in}{n+\frac 1i}$$

و $$B_n=\sum_{i=1}^n\frac{\sin\frac in}{n}$$

در اینصورت بنابر تعریف انتگرال ریمان واضح است که $$\lim_{n\to\infty}B_n=\int_0^1\sin xdx=1-\cos 1$$

اما از طرفی داریم: $$0\leq B_n-A_n=\sum_{i=1}^n\frac{\sin \frac in}{n}\frac{1}{1+ni}\leq \frac{B_n}{n}$$

اما چون $B_n$ همگراست پس $\frac{B_n}{n}\to 0$ لذا $\lim_{n\to \infty}B_n-A_n=0$ بنابراین $$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n\frac{\sin\frac in}{n+\frac 1i}=\int_0^1\sin xdx=1-\cos 1$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
39 نفر آنلاین
0 عضو و 39 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 840
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709982
...