چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
7,973 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط بی نام
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

نحوه قطری کردن ماتریس ها را بیان کنید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

می دانیم که یک ماتریس مربعی $n\times n$ قطری شدنی است اگر و تنها اگر دارای $n$ بردار ویژه ی مستقل خطی باشد.( یعنی دارای $n$ بردار ویژه باشد به طوریکه تشکیل یک پایه برای فضای سطری ماتریس دهد) در اینصورت ماتریس قطری متناظر همان مقادیر ویژه هستند. و اگر ماتریس $P$ از $n$بردار ویژه تشکیل شده باشد آنگاه $PAP^{-1}$ ماتریس قطری متناظر خواهد بود.

به عنوان مثال اگر ماتریس $A= \begin{bmatrix}5 & 1 \\3 & 3 \end{bmatrix} $ را در نظر بگیرید در اینصورت مقادیر ویژه برابر $2,6$ خواهند بود زیرا $$\det (tI-A)=\det \begin{bmatrix}t-5 & -1 \\ -3 & t-3 \end{bmatrix}=t^2-8t+12=(t-6)(t-2) $$ در اینصورت بردارهای ویژه ی متناظر برابر عبارت اند از $u= \begin{bmatrix}u_1 \\u_2 \end{bmatrix} ,v= \begin{bmatrix}v_1 \\v_2 \end{bmatrix} $ که $ Av=2v,Au=6u$ در اینصورت $\begin{bmatrix}5 & 1 \\3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_1 \\u_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}5u_1+u_2\\3u_1+3u_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}6u_1 \\6u_2 \end{bmatrix} $ نتیجه می شود $u_1=u_2$ هرمقداری دهیم بردار ویژه ی متناظر است. مثلا $u= \begin{bmatrix}1 \\1 \end{bmatrix} $

و از $\begin{bmatrix}5 & 1 \\3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1 \\v_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}5v_1+v_2 \\3v_1+3v_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2v_1 \\2v_2 \end{bmatrix} $ داریم $3v_1+v_2= 0$ پس به عنوان مثال می توان $v=\begin{bmatrix}1 \\-3\end{bmatrix}$ را در نظر گرفت. در اینصورت $P= \begin{bmatrix}1 & 1 \\1 & -3 \end{bmatrix} $ و لذا ماتریس قطری متناظر برابر است با : $$P^{-1}AP= \begin{bmatrix}6& 0 \\0 & 2 \end{bmatrix} $$ توجه کنید که همانطور که انتظار می رفت در ماتریس قطری درایه های روی قطر اصلی همان مقادیر ویژه هستند.

به عنوان مثال دیگر اگر $ B=\begin{bmatrix}2&1 \\0& 2 \end{bmatrix} $ در اینصورت چندجمله ای مشخصه برابر $(t-2)^2$ است یعنی مقدار ویژه برابر $2$ است و بردار ویژه متناظر برابر است با $ \begin{bmatrix}2u_1+u_2 \\2u_2 \end{bmatrix} =Bu=2u= \begin{bmatrix}2u_1\\2u_2\end{bmatrix} $ یا $u_2=0$ و $u_1$ هر مقدار دلخواه می تواند باشد. پس فرض $u= \begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix} $ در اینصورت $B$ قطری شدنی نیست زیرا تنها یک بردار ویژه داریم و تشکیل پایه نمی دهد.

و در نهایت اگر $C= \begin{bmatrix}0&-1 \\1&0 \end{bmatrix} $ در اینصورت می توان نشان داد چندجمله ای مشخصه ی آن برابر $t^2+1$ بوده و چون هیچ ریشه ای در $\mathbb R$ ندارد پس هیچ مقدار ویژه ای ندارد و متناظرا هیچ بردار ویژه ای نداریم پس قطری شدنی نیست. با این حال اگر ماتریس را روی اعداد مختلط $\mathbb C$ در نظر بگیریم در اینصورت $t^2+1=(t-i)(t+i)$ دارای دو مقدار مشخصه ی $i, -i$ بوده و چون این دو نابرابرند پس بردارهای ویژهی متناظر مستقل خطی بوده و تشکیل پایه می دهند لذا قطری شده ی $C$ به عنوان ماتریسی روی $\mathbb C$ برابر $ \begin{bmatrix}i&0 \\0&-i \end{bmatrix} $ خواهد بود.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
70 نفر آنلاین
0 عضو و 70 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3782
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712923
...