به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
2,559 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط math

با توجه به تعریف نرم-2 و نرم-P که بصورت زیر است:

$ \| x \| _2= \sqrt[]{ (x,x)} $ $ \| x \|_p= \big( \sum_1^n | x_i |^ {P} \big)^{(1/p) } $

چگونه میتوان نامساوی مثلث $ \| x+y \| \leq \| x \|+ \| y \| $را در مورد این دو نرم ثابت کرد.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

برای قسمت اول داریم: با استفاده از $(x,y)\leq \|x\|_2\|y\|_2$ ( که اثبات آن را در اینجا می توانید بیابید)داریم :

$$\begin{align}\|x+y\|_2^2=(x+y,x+y)&=\|x\|_2^2+(x,y)+(y,x)+\|y\|_2^2\\ &\leq \|x\|_2^2+2\|x\|_2\|y\|_2+\|y\|_2^2\end{align}$$

و برای دومی از نامساوی مینکوفسکی استفاده می شود:

نامساوی مینکوفسکی: اگر $ (x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n)\in\mathbb R^n $ و $1\leq p\in\mathbb R$ آنگاه: $$\big(\sum_1^n|x_i+y_i|^p\big)^{\frac 1p}\leq \big(\sum_1^n|x_i|^p\big)^{\frac 1p}+\big(\sum_1^n|y_i|^p\big)^{\frac 1p} $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
58 نفر آنلاین
0 عضو و 58 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 5478
بازدید دیروز: 6583
بازدید کل: 5017712
...