چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
152 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
ویرایش شده توسط erfanm

ثابت کنید هر دنباله از اعداد حقیقی دارای زیر دنباله یکنوا است.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط wahedmohammadi
 
بهترین پاسخ

فرض کنید دنباله ی $\{ x_{n} \} $ از اعداد حقیقی را داشته باشیم تعریف میکنیم: $S=\{n \mid x_{m} > x_{n} , \forall m > n \} $ مثلا اگر $ n_{1} $ و$ n_{2} $ در $ S $ باشند بدون کاستن از کلیت فرض کنیم $ n_{1} < n_{2} $ آنگاه طبق تعریف چون $ n_{1} \in S $ و چون $ n_{2} > n_{1} $ پس $x_{n_{2}} > x_{n_{1}} $

برای اثبات دو حالت داریم

الف) مجموعه ی $S $ نامتناهی باشد و فرض $n_{1} < n_{2} < n_{3} < ... $ در $ S $ باشند لذا $x_{n_{1}} < x_{n_{2}} < x_{n_{3}} < ... $ زیر دنباله ی $ \{ x_{n_{k} } \} $ زیر دنباله ای صعودی است.

ب) مجموعه ی $ S $ متناهی باشد پس عددی مانند $ n_{1} $ وجود دارد که از تمام اعداد عضو $ S $ بزرگتر است(کافیست قرار دهیم $n_{1} =1+max \{ n \mid n \in S\} $ چون مجموعه ی $ S $ متناهی است ماکزیمم وجود دارد) چون $n_{1} \notin S $ پس طبق تعریف عنصر $ n_{2} > n_{1} $ وجود دارد که $ x_{n_{2}} < x_{n_{1}} $ حال چون $ n_{2} > n_{1} $ یعنی $ n_{2} \notin S $ پس $ n_{3} > n_{2} $ وجود دارد که $x_{n_{3}} < x_{n_{2}} $با ادامه این روند زیر دنباله ی $ \{ x_{n_{k} } \} $ را داریم که نزولی است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
39 نفر آنلاین
0 عضو و 39 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 780
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709922
...