چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
89 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط بی نام
ویرایش شده توسط fardina

نشان دهید که $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(logn)^{-p}}{n}$ همگرا است اگر و فقط اگر $.p >1$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط wahedmohammadi

آزمون تراکم کوشی: فرض کنید $\sum(a_n)$ یک سری از اعداد مثبت نزولی باشد. در اینصورت: $\sum(a_n)$ همگراست اگر و تنها اگر سری $\sum_1^\infty 2^na_{2^n}$ همگرا باشد.(برای اثبات به کتاب رودین رجوع کنید)

در اینصورت چون سری $\sum \frac1{n(\ln n)^p}$ از اعداد مثبت نزولی است لذا همگراست اگر و تنها اگر $\sum \frac 1{n^p(\ln 2)^p}$ همگرا باشد. (زیرا با فرض $a_n=\frac1{n(\ln n)^p}$ داریم $2^n a_{2^n}=\frac1{n^p(\ln 2)^p}$ )

اما سری $ \sum \frac 1{n^p(\ln 2)^p} $ یک $-p$ سری است که می دانیم برای $p>1$ همگراست.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
58 نفر آنلاین
0 عضو و 58 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3626
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687434
...