چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
10,545 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط parham
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

لطفا در مورد محاسبه ي حجم کره و مخروط با استفاده از انتگرال توضیح دهید.

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
خوب؟ سوالتون چیه؟
دارای دیدگاه توسط parham
+2
@fardina
با استفاده از انتگرال حجم كره و مخروط رو ميخوام

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

جواب این سوال شما در همه ی کتاب های ریاضی عمومی پیدا میشه. یکی از راه حل ها به این صورت است:

کره را می توان به این صورت ساخت که دایره ی به شعاع $a$ در صفحه ی $xy$ را در نظر بگیرید و آن را حول محور $x$ یا $y$ بچرخانید در اینصورت چیزی که حاصل می شود یک کره به مرکز مبدا و شعاع $a$ است.

کره

در اینصورت می توانیم در هر نقطه ی $-a< x< a$ یک برش به ضخامت $\Delta x$ در نظر گرفت. در اینصورت مساحت این قطعه (که شعاع آن $y$ می باشد) برابر است با $A(x)=\pi y^2=\pi(x^2-a^2)$ . در اینصورت اگر تمام این مساحت ها را با هم جمع بزنیم به حجم کره می رسیم: $V=\int_{-a}^a A(x)dx=\int_{-a}^a\pi(a^2)-x^2)dx=\pi a^2x-\frac{x^3}3]_{-a}^a=\frac43\pi a^3$

برای حجم مخروط به شعاع $r$ و ارتفاع $h$ می توانید شکلی که زیر خطی که نقاط $(0,0),(h,r)$ را به هم وصل می کند را حول محور $x$ ها بچرخانید تا یک مخروط ایجاد شود.

مخروط

دراینصورت مانند حالت قبل اگر یک برش از شکل را با عمود کردن دو صفحه بر محور $x$ ها در نظر بگیرید یک دایره به شعاع $y$ و ضخامت $\Delta x$ ایجاد می شود که مساحت آن برابر $A(x)=\pi y^2=\pi(\frac rhx)^2=\pi \frac{r^2}{h^2}x^2$ است و اگر این مساحت ها را از $0$ تا $h$ جمع بزنیم داریم:

$$V=\int_0^h \pi\frac{r^2}{h^2}x^2 dx=\pi\frac{r^2}{h^2}\frac{x^3}3]_0^h=\frac 13\pi r^2h $$
دارای دیدگاه توسط arvin
+2
@fardina
اون(A(Xرو چطوري بايد به دست آورد؟؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+2
$A(x)$ یعنی مساحت اون دایره قرمز که شعاعش برابر $y$ است. پس $A(x)=\pi y^2$ و توجه کنید که معادله ی دایره در صفحه $xy$ برابر $x^2+y^2=a^2$ است. لذا $y^2=a^2-x^2$ و بنابراین $A(x)=\pi y^2=\pi(a^2-x^2)$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 340
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709482
...