چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
246 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط kj
ویرایش شده توسط erfanm

با استفاده ازقاعده لایب نیتز رابطه زیر را اثبات کنید. با هر روش دلخواه (استقراء یا جز به جز یا غیره)

$ \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t)\underbrace{dt....dt}_{n}= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t)dt $
دارای دیدگاه توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm
رابطه ای که نوشتید درست نیست برای حالت $n=2$ بررسی کردم درست نیست.اطمینان دارید که درست نوشتید؟
دارای دیدگاه توسط kj
بله این هم فایل اون نوشته است و استاد هم گفته درسته ولی من هم نتونستم خوب بازش کنم نتیجه بگیریم برا همین به شما زحمت دادم
دارای دیدگاه توسط بی نام
ببخشید در یک سئوال دیگر فایل را خدمتتون ارسال نمودم .
دارای دیدگاه توسط fardina
+2
برای اینکه کاربران دیگه رو از پیامتون مطلع کنید اول @ بنویسید بعد نام کاربری مثلا @erfanm
بهتره همین سوالتونو ویرایش بزنید و فایل رو بزارید به جای اینکه چند سوال ایجاد کنید!
دارای دیدگاه توسط بی نام
انتقال داده شده توسط fardina
+1

نحوه نوشتن سوال غلط است جواب داخلی ترین انتگرال تابعی از X است بنابراین انتگرال نسبت به t آن به چه معناست ؟‌آنرا ثابت می گیرید سمت چپ تساوی باید به صورت زیر نوشته شود

$\int_0^{x_n}\cdots\int_0^{x_2} \int_0^{x_1} f(t) dt dx_1\cdots dx_{n-1}=...$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

با استقرا حکم را ثابت میکنیم برای $ n=1 $ حکم ساده است. فرض کنید برای $ n-1 $ درست باشد یعنی $$ \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t)\underbrace{dt....dt}_{n-1} = \frac{1}{(n-2)!} \int_0^x (x-t)^{n-2} f(t)dt $$ نشان میدهیم حکم برای $ n $ نیز درست است برای این کار قرار می دهیم $I(X)= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t)dt $ لذا $I(0)=0 $ و$f(x,t)=(x-t)^{n-1} f(t)$

حال طبق قاعده لایبنیتز داریم: $$I^{'}(X)= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (n-1)(x-t)^{n-2} f(t)dt = \frac{1}{(n-2)!} \int_0^x (x-t)^{n-2} f(t)dt $$ طبق فرض استقرا داریم: $$I^{'}(X)= \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t) \underbrace{dt....dt}_{n-1} $$ با انتگرال گیری از طرفین داریم: $I(X)-I(0) =\int_0^x I^{'}(X)dt= \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t) \underbrace{dt....dt}_{n} $

پس داریم: $$ \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t)dt....dt= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t)dt $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
55 نفر آنلاین
0 عضو و 55 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3307
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712448
...