چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
107 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط مهرداد
ویرایش شده توسط رها

فرض کنید $A $ماتریس متقارن و معین مثبت است .نشان دهید ماتریس متقارن و معین مثبت $B$وجود دارد بطوریکه $A^3=B$

مرجع: جزوه جبرخطی

1 پاسخ

+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

فکر کنم کافی است ثابت کنیم $A^3$ متقارن و مثبت معین است.(فرض می کنیم که درایه های $A$ حقیقی هستند)

چون $A$ متقارن است لذا $A^T=A$ (در اینجا $A^T$ منظور ماتریس متقارن متناظر ماتریس $A$ است) نشان می دهیم $A^3$ متقارن است: $$(A^3)^T=(AAA)^T=(A^TA^TA^T)=AAA=A^3$$

و برای مثبت معین بودن چون $A$ مثبت معین است لذا برای هر $u\in \mathbb R^n$ ضرب داخلی $u_{n\times 1}$ و $A_{n\times n}u_{n\times 1}$ مثبت است یعنی $< u, Au>=u^TAu> 0$ نشان می دهیم $A^3$ هم مثبت معین است: $$< u,A^3u>=u^TA^3u=u^TAAAu=(u^TA^T)A(Au)=(Au)^TA(Au)$$ با قرار دادن $v=Au$ بنابر فرض مثبت معین بودن $A$ داریم $< v, Av> =v^TAv> 0$ لذا $< u, A^3u>=< v,Av>>0$ و حکم ثابت است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
48 نفر آنلاین
1 عضو و 47 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3482
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687290
...