به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
114 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط مهرداد
ویرایش شده توسط رها

فرض کنید $A $ماتریس متقارن و معین مثبت است .نشان دهید ماتریس متقارن و معین مثبت $B$وجود دارد بطوریکه $A^3=B$

مرجع: جزوه جبرخطی

1 پاسخ

+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

فکر کنم کافی است ثابت کنیم $A^3$ متقارن و مثبت معین است.(فرض می کنیم که درایه های $A$ حقیقی هستند)

چون $A$ متقارن است لذا $A^T=A$ (در اینجا $A^T$ منظور ماتریس متقارن متناظر ماتریس $A$ است) نشان می دهیم $A^3$ متقارن است: $$(A^3)^T=(AAA)^T=(A^TA^TA^T)=AAA=A^3$$

و برای مثبت معین بودن چون $A$ مثبت معین است لذا برای هر $u\in \mathbb R^n$ ضرب داخلی $u_{n\times 1}$ و $A_{n\times n}u_{n\times 1}$ مثبت است یعنی $< u, Au>=u^TAu> 0$ نشان می دهیم $A^3$ هم مثبت معین است: $$< u,A^3u>=u^TA^3u=u^TAAAu=(u^TA^T)A(Au)=(Au)^TA(Au)$$ با قرار دادن $v=Au$ بنابر فرض مثبت معین بودن $A$ داریم $< v, Av> =v^TAv> 0$ لذا $< u, A^3u>=< v,Av>>0$ و حکم ثابت است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
42 نفر آنلاین
0 عضو و 42 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 972
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5006624
...