چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
860 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط بی نام

روش تجزیه $LU$ ماتریس با محورگیری جزئی و کلی را لطفا با ذکر مثال شرح دهید.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

ماتریس $A= \begin{bmatrix}2 & 3 \\6 & 7 \end{bmatrix} $ را در نظر بگیرید ابتدا می خواهیم تجزیه ای به صورت $ LU $ را برای این ماتریس بنویسیم برای این کار ماتریس $ U $ را به صورت $ \begin{bmatrix} u_{11} &u_{12} \\0 & u_{22} \end{bmatrix} $ و$ L $ را به صورت $ \begin{bmatrix} l_{11} &0 \\l_{21} & l_{22} \end{bmatrix} $ در نظر میگیریم برای بدست آوردن تجزیه چندین روش داریم که از روش دولیتل استفاده میکنم یعنی عناصر قطر اصلی $ L $ را $1$ در نظر میگیرم پس داریم:

$$A= \begin{bmatrix} 1 &0 \\l_{21} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{11} &u_{12} \\0 & u_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u_{11} & u_{12} \\l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} +u_{22} \end{bmatrix} $$ پس داریم: $$ L=\begin{bmatrix} 1 &0 \\3 & 1 \end{bmatrix} ,U=\begin{bmatrix} 2 &3 \\0 & -2 \end{bmatrix}$$

با روش حذفی گاوسی داریم: $A= \begin{bmatrix}2 & 3 \\6 & 7 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}2 & 3 \\0 & -2 \end{bmatrix} $ که همان $ U $ بدست آمده در بالا است. برای محور گیری جزئی در مرحله ی اول اگر بین عناصر ستون اول بیشتری مقدار را $ a_{r1} $ داشته باشد سطر $r $ام را با سطر اول جابجا میکنیم تا $ a_{11} = max_{1 \leq j \leq n} a_{1j} $ باشد در اینجا کافیست سطر دوم را با سطر اول جایگذاری کنیم.لذا ماتریس به $ \begin{bmatrix}6 & 7 \\2 & 3 \end{bmatrix} $ تبدیل می شود که از روش حذفی گاوس ماتریس بالا مثلثی به صورت $ \begin{bmatrix}6 & 7 \\0 & \frac{2}{3} \end{bmatrix} $ است و با جایگذاری $ \begin{bmatrix} l_{11} &0 \\l_{21} & l_{22} \end{bmatrix} $ ماتریس پایین مثلثی $ \begin{bmatrix}1 & 0 \\ \frac{1}{3} & 1 \end{bmatrix} $ بدست می آید.

برای محور گیری کلی بین سطرهای زیر $ a_{11} $ و ستون های بعد آن دنبال درایه ای میگردیم که از همه بزرگتر باشد که در اینجا درایه ی $a_{22}=7 $ است ابتدا سطر $2$ را با$1$ عوض میکنیم سپس ستون $2$ را با ستون $1$ عوض می کنیم تا ماتریس $ \begin{bmatrix}7 & 6 \\3 & 2 \end{bmatrix}$ بدست آید حال از روش حذفی گاوس ماتریس بالا مثلثی $\begin{bmatrix}7 & 6 \\0 & \frac{-4}{7} \end{bmatrix} $ بدست می آید و با جایگذاری ماتریس پایین مثلثی $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ \frac{3}{7} & 1 \end{bmatrix} $ بدست می آید.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
39 نفر آنلاین
0 عضو و 39 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 770
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709912
...