چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
117 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط meh123456
ویرایش شده توسط erfanm

اگر $A \in \mathbb{R}^{n \times m} $ و $m \geq n$ نشان دهیدکه $A$ مرتبه کامل ستونی دارد اگر و تنها اگر $Ax \neq Ay $برای $x \neq y$

مرجع: بیسوانات داتا- چینی

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &...& a_{1m} \\a_{21} & a_{22} &...& a_{2m} \\ \vdots & \vdots &...& \vdots \\a_{n1} & a_{n2} &...& a_{nm}\end{bmatrix} $ و$x= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{m} \end{bmatrix} $ پس داریم: $$Ax=\begin{bmatrix} a_{11}x_{1} +a_{12}x_{2} +...a_{1m}x_{m} \\a_{21}x_{1} +a_{22}x_{2} +...a_{2m}x_{m} \\ \vdots \\ a_{n1}x_{1} +a_{n2}x_{2} +...a_{nm}x_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}x_{1}+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}x_{m} $$ حال اثبات را انجام میدهیم فرض کنید $A$ دارای رتبه کامل ستونی باشد ثابت میکنیم اگر $x \neq y $ آنگاه $Ax \neq Ay $ از برهان خلف استفاده می کنیم فرض کنید $x \neq y $ ولی $Ax=Ay $ پس طبق آنچه در بالا گفته شد با آوردن همه به یک طرف تساوی داریم:

$$0=Ax-Ay= \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}(x_{1}-y_{1})+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}(x_{m} -y_{m}) $$ اما از آنجایی که $ A $ دارای رتبه ستونی کامل است لذا ستون هایش مستقل خطی هستند لذا باید $ (x_{i}-y_{i})=0 $ یعنی $x=y $ که تناقض است.

فرض کنید اگر $x \neq y $ آنگاه $Ax \neq Ay $ باشد ثابت میکنیم که $A$ دارای رتبه ستونی کامل است یعنی ستونهای آن مستقل خطی هستند. فرض کنید وجود داشته باشد $ x \neq 0 $ که

$0= \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}x_{1}+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}x_{m} $ میتوانیم بنویسیم : $0=\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}(x_{1}-0)+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}(x_{m}-0)=Ax-Ay$ که در آن $ y$ بردار ستونی صفر است و چون $ x \neq 0 $ یعنی $ x \neq y $ ولی $Ax=Ay $ که تناقض است.

دارای دیدگاه توسط meh123456
+1
a11a12...a1ma21a22...a2m⋮⋮...⋮an1an2...anmسلام با تشکر از پاسخ شما منظورتون از 3تا نقطه بالای هم چیه؟
دارای دیدگاه توسط erfanm
معلومه
$
a_{1},a_{2} $
تا
$a_{n}$
رو میتونیم به صورت زیر بنویسیم
$a_{1},a_{2},...,a_{n} $
منظور منم همین بود و به منظور تا آخر است.چون نمیتونیم تمام جملات را بنویسیم با این 3 نقطه میگوییم جملات بعدی هم هستند تا اون آخری که نوشته می شه.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
38 نفر آنلاین
0 عضو و 38 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 805
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709947
...