به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
117 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط meh123456
ویرایش شده توسط erfanm

اگر $A \in \mathbb{R}^{n \times m} $ و $m \geq n$ نشان دهیدکه $A$ مرتبه کامل ستونی دارد اگر و تنها اگر $Ax \neq Ay $برای $x \neq y$

مرجع: بیسوانات داتا- چینی

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &...& a_{1m} \\a_{21} & a_{22} &...& a_{2m} \\ \vdots & \vdots &...& \vdots \\a_{n1} & a_{n2} &...& a_{nm}\end{bmatrix} $ و$x= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{m} \end{bmatrix} $ پس داریم: $$Ax=\begin{bmatrix} a_{11}x_{1} +a_{12}x_{2} +...a_{1m}x_{m} \\a_{21}x_{1} +a_{22}x_{2} +...a_{2m}x_{m} \\ \vdots \\ a_{n1}x_{1} +a_{n2}x_{2} +...a_{nm}x_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}x_{1}+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}x_{m} $$ حال اثبات را انجام میدهیم فرض کنید $A$ دارای رتبه کامل ستونی باشد ثابت میکنیم اگر $x \neq y $ آنگاه $Ax \neq Ay $ از برهان خلف استفاده می کنیم فرض کنید $x \neq y $ ولی $Ax=Ay $ پس طبق آنچه در بالا گفته شد با آوردن همه به یک طرف تساوی داریم:

$$0=Ax-Ay= \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}(x_{1}-y_{1})+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}(x_{m} -y_{m}) $$ اما از آنجایی که $ A $ دارای رتبه ستونی کامل است لذا ستون هایش مستقل خطی هستند لذا باید $ (x_{i}-y_{i})=0 $ یعنی $x=y $ که تناقض است.

فرض کنید اگر $x \neq y $ آنگاه $Ax \neq Ay $ باشد ثابت میکنیم که $A$ دارای رتبه ستونی کامل است یعنی ستونهای آن مستقل خطی هستند. فرض کنید وجود داشته باشد $ x \neq 0 $ که

$0= \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}x_{1}+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}x_{m} $ میتوانیم بنویسیم : $0=\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}(x_{1}-0)+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}(x_{m}-0)=Ax-Ay$ که در آن $ y$ بردار ستونی صفر است و چون $ x \neq 0 $ یعنی $ x \neq y $ ولی $Ax=Ay $ که تناقض است.

دارای دیدگاه توسط meh123456
+1
a11a12...a1ma21a22...a2m⋮⋮...⋮an1an2...anmسلام با تشکر از پاسخ شما منظورتون از 3تا نقطه بالای هم چیه؟
دارای دیدگاه توسط erfanm
معلومه
$
a_{1},a_{2} $
تا
$a_{n}$
رو میتونیم به صورت زیر بنویسیم
$a_{1},a_{2},...,a_{n} $
منظور منم همین بود و به منظور تا آخر است.چون نمیتونیم تمام جملات را بنویسیم با این 3 نقطه میگوییم جملات بعدی هم هستند تا اون آخری که نوشته می شه.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
56 نفر آنلاین
0 عضو و 56 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3466
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5009118
...