به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
893 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط reza91
ویرایش شده توسط reza91

اگر $ \lambda _1, \lambda _2,\ldots , \lambda _n$ مقادیر ویژه ماتریس $A$ باشند که همگی مثبت و متمایز هستند آن‌گاه مجموعه‌ی بردارهای ویژه متناظر با آن‌ها یعنی ${x_1,x_2,\ldots ,x_n}$ مستقل خطی هستند.

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm
 
بهترین پاسخ

اگر شرط متمایز بودن رو نداشته باشه درست نیست.

بعنوان مثال ماتریس همانی را در نظر بگیرید تنها یک مقدار ویژه ثابت دارد($1$) و هر بردار ناصفر یک بردار ویژه است. و بوضوح میتوان دو بردار غیر صفر را که وابسته خطی هستندرا در نظر گرفت.($(2,...,2)$ , $(1,...,1)$)

اگر مقدار ویژه ها هم متمایز باشند( مثبت بودن لازم نیست)آنگاه بردارهای ویژه مستقل خواهند بود.

در واقع ماتریس $n \times n $ دارای $ n $ بردار ویژه ی مستقل است اگروتنها اگر قطری شدنی باشد

اما در ماتریس های متقارن مقادیر ویژه مثبت هستند اگروتنها اگر ماتریس معین مثبت باشد

(اگر این سوال درست باشد آنگاه هر ماتریس معین مثبت باید قطری شدنی باشد اما ماتریس زیر با اینکه معین مثبت است اما قطری شدنی نیست

$$ \begin{bmatrix}1 & \frac{1}{10} \\0 & 1 \end{bmatrix} $$

این مثال شرط متقارن بودن را در تعریف ماتریس معین مثبت با درایه حقیقی نداره پس مثال اشتباهی است.)

................................................

میدانیم :$A x_{i} = \lambda_{i} x_{i} $

با استقرا حکم را ثابت میکنیم اگر یک مقدار ویژه داشته باشیم لذا یک بردار ویژه($ x_{1} $) داریم که مخالف صفر است لذا مستقل خطی است.

فرض کنید دومقدار ویژه $ \lambda _1 $ و $\lambda _2 $ را داشته باشیم وبردارهای نظیر آنها $ x_{1} $و$ x_{1} $ باشند.و فرض کنید $ a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} =0 \tag{1} \label{1} $ آنگاه داریم:

$$A(a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2}) =A0=0 \Rightarrow a_{1} Ax_{1} + a_{2} Ax_{2} =0 \Rightarrow $$ $$ a_{1} \lambda_{1}x_{1} + a_{2} \lambda_{2}x_{2} =0 \tag{2} \label{2} $$ حال اگر در رابطه ی $\eqref{1}$ طرفین را در $ \lambda_{1}$ ضرب کنیم و آن را از رابطه $ \eqref{2} $ کم کنیم داریم:

$$ a_{2} (\lambda_{2}-\lambda_{1})x_{2} =0 $$ از آنجایی که $\lambda_{2} \neq \lambda_{1}$ و $ x_{2} \neq 0$ پس $ a_{2}=0 $ و با قرار دادن آن در رابطه $\eqref{1}$ بدست می آید که $ a_{1}=0 $

حال فرض کنید حکم برای $n-1 $ برقرار باشد نشان میدهیم حکم برای $ n $ نیز برقرار است فرض کنید داشته باشیم $$a_{1} x_{1} +..+ a_{n-1} x_{n-1}+ a_{n} x_{n} =0 \tag{3} \label{3} $$

پس بطور مشابه با نحوه بدست آمدن رابطه $ \eqref{2} $ رابطه ی زیر را داریم: $$a_{1} \lambda_{1} x_{1} +..+ a_{n-1} \lambda_{n-1} x_{n-1}+ a_{n} \lambda_{n}x_{n} =0 \tag{4} \label{4} $$ حال طرفین $ \eqref{3} $ را در $ \lambda_{n}$ ضرب میکنیم و از طرفین $ \eqref{4} $ کم میکنیم خواهیم داشت: $$a_{1} (\lambda_{1}- \lambda_{n}) x_{1} +..+ a_{n-1} (\lambda_{n-1} - \lambda_{n})x_{n-1}=0 $$ طبق فرض استقرا ضرایب صفر است و چون $ \lambda_{n} \neq \lambda_{i}$ برای $n \neq i$ پس $ \lambda_{i}- \lambda_{n}$ مخالف صفر است. پس یاید $ a_{i} $ها برای $n \neq i$ صفر باشند و با جایگذاری در رابطه ی $ \eqref{3} $ نتیجه می شود $ a_{n} $ هم صفر است.

دارای دیدگاه توسط reza91
+3
@erfanm
بله حق با شماست، من شرط متمایز بودن رو یادم رفته بذارم.الان اصلاح می‌کنم؛
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط M.B
ویرایش شده توسط M.B

باید شرط متمایز بودن مقادیر ویژه رو هم قرار می دادید. مثال 2 از صفحه 241 کتاب هافمن رو بخونید تا ببینید حکم بالا همیشه برقرار نیست. اگر مقادیر ویژه متمایز باشند با استفاده از این موضوع که ریشه های چندجمله ای مینیمال و چندجمله ای مشخصه با هم برابرند می توان دید که بردار های ویژه هم مستقل خطی هستند.(در مورد این مطلب قبلا در پست زیر بحث شده

http://math.irancircle.com/1918/%DA%A9%D8%AF%D8%A7%D9%85-%D9%85%D8%A7%D8%AA%D8%B1%DB%8C%D8%B3-%D9%87%D8%A7-%D9%82%D8%B7%D8%B1%DB%8C-%D8%B4%D8%AF%D9%86%DB%8C-%D9%87%D8%B3%D8%AA%D9%86%D8%AF-%D8%A2%D9%86%D9%87%D8%A7-%D9%86%D8%A7%D9%85-%D8%A8%D8%A8%D8%B1%DB%8C%D8%AF%D8%9F-%D9%88%D9%85%D8%AB%D8%A7%D9%84%DB%8C-%D8%A8%D8%B2%D9%86%DB%8C%D8%AF%D8%9F#a2108

دارای دیدگاه توسط reza91
+4
@M.B
فک کنم پست بالا که قرار دادین مرتبط با ااین سوال  نباشه.
دارای دیدگاه توسط M.B
ویرایش شده توسط M.B
+2
معذرت می خوام. لینک رو اشتباه قرار داده بودم.

در واقع قطری شدن معادل با داشتن $n$ بردار ویژه متمایزه.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
56 نفر آنلاین
0 عضو و 56 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3452
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5009104
...