به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
57 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
ویرایش شده توسط fardina

اگر $a_n > 0$ و سری $\sum a_n$ همگرا باشد نشان دهید که سری $\sum \sqrt{a_na_{n+1}}$ نیز همگراست.

1 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

فرض $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$ دنباله مجموعهای جزیی $\sum a_n$ و $S_n'=\sum_{k=1}^n\sqrt{a_ka_{k+1}}$ باشد . حال از رابطه ی بین میانگین هندسی و حسابی $\sqrt {ab}\leq \frac{a+b}2$ استفاده کنیم داریم: $$\begin{align}S_n'=\sum_1^n\sqrt{a_ka_{k+1}}& \leq \sum_1^n\frac{a_k+a_{k+1}}2\\ &=S_n+\frac{a_{n+1}-a_1}2 \end{align}$$ چون $\sum a_n$ همگراست لذا $S_n$ کراندار است پس $S_n'$ نیز کراندار است و چون $\sqrt{a_ka_{k+1}}$ مثبت هستند لذا $S_n'$ صعودی است پس $S_n'$ همگراست.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
45 نفر آنلاین
0 عضو و 45 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2235
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5007887
...