به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
952 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط reza91

اگر ماتریس $A$ معین مثبت باشد آن‌گاه برای هر $i\neq j$ داریم:

$A_{ii}A_{jj}-A_{ij}^2\geq0$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط reza91
 
بهترین پاسخ

برای هر $ i \neq j $ ماتریس $ \begin{bmatrix} a_{ii} & a_{ij} \\a_{ji} & a_{jj} \end{bmatrix} $ یک ماتریس اصلی از ماتریس $ A$ است طبق قضیه داریم این ماتریس ها هم مثبت معین خواهند بود لذا دارای مقادیر ویژه ی مثبت هستند و از آنجایی که$det= \prod \lambda _{i} $ لذا دترمینان آنها مثبت است یعنی

$0 \leq a_{ii} a_{jj} -a_{ij}a_{ji}$ اما در ماتریس های متقارن داریم $a_{ji}= \overline{a_{ij}} $ که با جایگذاری واینکه $a_{ij} \overline{a_{ij}} ={ \mid a_{ij} \mid }^{2} $ خواهیم داشت: $0 \leq a_{ii} a_{jj} -{ \mid a_{ij} \mid }^{2} $ وحکم ثابت شد.

دارای دیدگاه توسط reza91
+1
@ermanm
یعنی منظورتون این است که اگر هر ماتریس دلخواهی از دل یک ماتریس معین مثبت بیرون بکشیم باز معین مثبت است؟
میشه اون قضیه  رو بیان کنید؟
با تشکر
دارای دیدگاه توسط erfanm
خیر چنین نیست باید ماتریس اصلی باشد یعنی اگر سطرهای $ i_{1} $ تا$ i_{t} $ را انتخاب کردیم باید دقیقا همون ستون هارو در نظر بگیریم اثباتش هم سخت نیست ایده اش اینجوریه که اگر ماتریس اولیه را $A$ و ماتریس اصلی انتخاب شده را $B$ در نظر بگیریم و بخواهیم معین مثبت بودن این ماتریس را با بردار $Y$ امتحان کنیم ابتدا بجای سطرهای حذف شده صفر قرار میدهیم تا برداری مناسب $A$ بدست آید و معین مثبت بودن $A$ با این بردار جدید معادل معین مثبت بودن $B$ با بردار $Y$ است.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
55 نفر آنلاین
0 عضو و 55 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3490
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5009142
...