چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
112 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط niusha
ویرایش شده توسط fardina

$\sin\frac1x$
$x\sin\frac 1x$
$x^2\sin\frac 1x$
شکل این 3 تابع چگونه است؟! و ایا در اطراف صفر تعریف شده اند یا خیر؟! ایا این توابع در صفر حد دارند یا خیر? $|x\sin\frac 1x|\leq |x|$ درستی اش را اثبات کنید .

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط erfanm

تابع $f(x)=\sin \frac 1x$ دارای دامنه $\mathbb R\setminus \{0\}$ است. در زیر می توانید شکل آن را ببینید. در نزدیکی صفر نوسان تابع بسیار شدید است:

enter image description here

$\lim_{x\to 0}\sin\frac 1x$ وجود ندارد چون کافی است دو دنباله $a_n=\frac{1}{2n\pi}$ و $b_n=\frac{1}{2n\pi+\frac\pi2}$ را در نظر بگیرید و مشاهده کنید که $a_n\to 0,b_n\to 0$ ولی $\sin\frac1{a_n}\to 0$ و $\sin\frac1{b_n}\to 1$ . توجه کنید که چون $|\sin x|\leq 1$ لذا همواره برای هر تابع $f(x)$ هم داریم $|\sin f(x)|\leq 1$ پس در اینجا هم $|\sin\frac 1x|\leq 1$ .

تابع $x\sin \frac 1x$ دارای دامنه $\mathbb R\setminus \{0\}$ است. در زیر می توانید شکل آن را ببینید:

enter image description here

همان طور که مشاهده می کنید $\lim_{x\to 0} x\sin\frac 1x$ وجود دارد و برابر $0$ است یعنی $\lim_{x\to 0}x\sin\frac 1x=0$ . بدون استفاده از شکل هم این موضوع قابل حدس بود زیرا $|x\sin\frac 1x|\leq |x|$ و از فشردگی استفاده کنید. اثبات این نامساوی هم واضح است چرا که گفتیم همواره $|\sin\frac 1x|\leq 1$ پس $|x\sin\frac 1x|=|x||\sin\frac 1x|\leq |x|\times 1=|x|$ . در زیر نمودارهای $y=x$ و $y=x\sin\frac1x$ مقایسه شده اند:

enter image description here

تابع $f(x)=x^2\sin\frac 1x$ هم دارای دامنه $\mathbb R\setminus \{0\}$ است. شکل آن به صورت زیر است:

enter image description here

همانطور که میبینید سرعت همگرایی این تابع به سمت صفر بیشتر از سرعت همگرایی تابع قبلی به سمت صفر است. پس $\lim_{x\to 0}\ x^{2} sin\frac 1x=0$ . با استفاده از قضیه فشردگی هم این حد قابل انتظار بود.

در حالت کلی در توابع $y=x^n\sin\frac 1x$ که $n\in\mathbb N$ است داریم $\lim_{x\to 0}x^n\sin\frac 1x=0$ ولی حد $\lim_{x\to 0}\sin\frac 1x$ وجود ندارد!

دارای دیدگاه توسط niusha
+1
ممنون بابت پاسختان
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3605
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687413
...