به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
166 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط erfanm

وزارت نفت کانالی بين بوشهر و ايلام حفر کرده است و قصد دارد لولة انتقال گازی را در آن قرار دهد. سطح مقطع لوله دايره و سطح مقطع کانال به شکل قسمتی از یک سهمی است.(سهمی نمودار یک چند جمله ای درجه دوم است.)اگر عرض و عمق کانال برابر $1$ متر باشد، قطر بزرگترین لوله ای که می توان در کانال قرار داد بطوری که با پایین ترین نقطه ی کانال تماس داشته باشد، چند سانتی متر است؟

enter image description here

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط zh
انتخاب شده توسط erfanm
 
بهترین پاسخ

مربعی به طول ضبع 1 را در نظر میگیریم و شکل زیر را طبق صورت مسئله در نظر میگیریم:

enter image description here

مطابق فرض مسئله، کانال به صورت سهمی است و مطابق شکل نقاط $(0,0), ( \frac{1}{2}, 1), (\frac{-1}{2}, 1) $ روی این سهمی قرار دارند. لذا اگر فرض کنیم که معادله سهمی به صورت

$$ y=a x^{2} $$

باشد آنگاه داریم:

$$ 1=a( \frac{1}{2})^{2} \longrightarrow a=4 $$

لذا معادله سهمی به صورت

$$y=4x^{2} $$

است. از طرفی دایره در مرکز بر این سهمی مماس است، پس معادله این دایره میتواند به صورت زیر باشد

$$ x^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$$

بنابراین با جایگذاری معادله اول در دوم داریم:

$$ \frac{y}{4} + y^{2}-2ry=0 $$

با مشتق گیری $ r$ بر حسب $ y $ داریم:

$$ \frac{dr}{dy}=0 \longrightarrow r=y+ \frac{1}{8} $$

لذا داریم:

$$\frac{y}{4} + y^{2}-2ry=\frac{y}{4} + y^{2}-2(y+ \frac{1}{8} )y=0 \longrightarrow y=0 \vee y= \frac{-1}{2} $$ $$ \Longrightarrow $$ $$r= \frac{1}{8} \vee r=- \frac{3}{8} $$

که دایره به شعاع $ r=-3/8$ خارج این سهمی است لذا ماکسیمم برابر با $r=1/8 $ است.

دارای دیدگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط erfanm
+1
آخر سر $r$ نمیتونه منفی باشه دیگه. چون طول شعاعه.
دارای دیدگاه توسط zh
+2
تو حالتی که شما میگین اگه از معادله اول مشتق بگیریم ماکسیمم بدست میاد. ولی معادله دارای سه متغییر هستش چه جوری از این راه ماکسیمم بدست میاد؟؟
دارای دیدگاه توسط zh
+2
کاری با منفی بودن r نداریم در حقیقت مقدار r هستش که موقعیت دایره و سهمی رو تعیین میکنه
دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
چرا  $y=4 x^{2}  $  رو تو معادله دایره جایگذاری میکنیم.
$y$ تو معادله دایره با $y$ تو معادله سهمی فرق دارند فقط در یک نقطه اونم مبدا برابر می شوند.
دارای دیدگاه توسط zh
+2
درسته که فقط تو یه نقطه با هم برخورد دارند ولی چون دایره و سهمی در وضعیتی قرار دارن که بیشینه شعاع دایره رو سهمی تعیین میکنه، معادله سهمی رو تو دایره قرار دادم.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
38 نفر آنلاین
0 عضو و 38 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1580
بازدید دیروز: 6343
بازدید کل: 5025814
...